Derivadas y aplicaciones para PAU

Matemáticas II · PAU · GUÍA POR TEMA

Derivadas y aplicaciones para PAU: qué dominar y cómo practicar

Esta guía utiliza el contenido del curso para preparar el bloque de forma activa. No asigna una frecuencia histórica inventada ni promete que aparezca una pregunta concreta: la convocatoria oficial es la referencia final.

Competencias que deberías demostrar

• Derivar composiciones, productos y cocientes, indicando el dominio de la función y de su derivada.
• Utilizar Rolle y el valor medio y estudiar crecimiento, extremos y curvatura con cambios de signo.
• Formular problemas de optimización, delimitar el dominio y justificar extremos absolutos.

Checklist de repaso

• Regla de la cadena y derivadas compuestas — Derivar composiciones, productos y cocientes, indicando el dominio de la función y de su derivada.
• Teoremas y estudio de funciones — Utilizar Rolle y el valor medio y estudiar crecimiento, extremos y curvatura con cambios de signo.
• Optimización con condiciones — Formular problemas de optimización, delimitar el dominio y justificar extremos absolutos.

Problemas representativos del tema

Problema 1. Deriva f(x)=(x²+1)eˣ.

Abrir pista y solución

Pista: Aplica producto, después simplifica.

Solución razonada: f′=2xeˣ+(x²+1)eˣ=eˣ(x²+2x+1)=eˣ(x+1)².

Problema 2. Deriva √(ln x) e indica dónde tiene esa derivada finita.

Abrir pista y solución

Pista: Revisa primero ln x≥0 y luego el denominador de la derivada.

Solución razonada: La función real tiene dominio x≥1. Para x>1, f′=1/(2x√(ln x)). En x=1 no tiene derivada finita ordinaria; la expresión no se extiende allí.

Problema 3. Aplica el valor medio a ln x en [1,e] y encuentra c.

Abrir pista y solución

Pista: La pendiente secante es 1/(e−1).

Solución razonada: ln x es continua y derivable en el intervalo adecuado. 1/c=1/(e−1), luego c=e−1, que pertenece a (1,e).

Problema 4. ¿x=0 es extremo de f(x)=x³? ¿Y punto de inflexión?

Abrir pista y solución

Pista: Examina signos, no solo derivadas nulas.

Solución razonada: f′=3x²≥0 y no cambia de signo al pasar por cero: no hay extremo. f″=6x sí cambia de signo: hay inflexión en (0,0).

Problema 5. Entre rectángulos de perímetro 20, encuentra el de área máxima.

Abrir pista y solución

Pista: Expresa y=10−x.

Solución razonada: A=x(10−x), con 0<x<10. A′=10−2x da x=5, y=5. Es un cuadrado de área 25, con derivada que cambia de + a −.

Problema 6. Minimiza f(x)=x²+4/x para x>0.

Abrir pista y solución

Pista: Deriva y verifica el cambio de signo.

Solución razonada: f′=2x−4/x²=(2x³−4)/x². Se anula en x=∛2. Es negativa antes y positiva después, por lo que es mínimo global; f=3·2^(2/3).

Errores que debes vigilar

• No olvidar derivadas interiores. No derivar producto multiplicando derivadas. No declarar una derivada en un punto fuera del dominio o con pendiente infinita.
• No confundir candidato con extremo probado. No olvidar extremos cerrados. No aplicar Rolle a |x| en un intervalo que contiene su esquina sin revisar derivabilidad.
• No confundir valla de tres lados con perímetro completo. No omitir unidades. No entregar un volumen cero de una caja degenerada como óptimo por anular la derivada.

Simulación y corrección

1. Haz una primera vuelta resolviendo lo seguro y señalando las preguntas que requieren más tiempo.
2. Escribe operaciones, unidades, hipótesis y justificaciones con claridad: una respuesta correcta sin razonamiento puede no demostrar todo el proceso.
3. Corrige con criterios oficiales cuando trabajes un examen real de tu comunidad; no uses esta página como baremo oficial.
4. Después vuelve al resumen del tema, los ejercicios, el test y los errores frecuentes.

Busca el examen oficial de tu comunidad

Selecciona tu territorio en Exámenes PAU por comunidad. Allí enlazamos la fuente institucional que debes comprobar antes de usar un modelo como referencia de la convocatoria vigente.

Entrenamiento de tiempo: cuando pases de práctica temática a un examen completo, utiliza como referencia los 90 minutos establecidos actualmente para cada ejercicio PAU y sigue las instrucciones concretas de tu comunidad.