Sistemas lineales

Matemáticas II · Unidad 2

Una discusión con parámetros exige separar los valores que cambian el rango.

Lecciones del tema

Resumen y esquema de decisión

Formulario del tema

Gauss y resolución de sistemas

$$F_i\leftarrow F_i+\lambda F_j(i\ne j)$$

$$[A\mid b]⟶\text{matriz escalonada}$$

Rouché–Frobenius y discusión

$$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}([A\mid b])=n\Rightarrow \text{solución única}$$

$$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}([A\mid b])<n\Rightarrow \text{infinitas soluciones}$$

$$\mathrm{rg}(A)<\mathrm{rg}([A\mid b])\Rightarrow \text{sin solución}$$

Sistemas con parámetros y aplicaciones

$$detA(k)\ne 0\Rightarrow \text{solución única}$$

$$detA(k)=0\Rightarrow \text{comparar rangos; no implica incompatibilidad}$$

Refuerzo 1 · Recuperación activa

Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.

¿Qué debe transformarse junto a coeficientes?

El término independiente de cada fila.

¿Condición de solución única?

Rangos iguales al número de incógnitas.

¿Qué hacer con los valores singulares?

Sustituirlos y estudiar rangos o ecuaciones sin divisiones inválidas.

Refuerzo 2 · Detecta el error

Refuerzo 3 · Reto de transferencia

Refuerzo 4 · Minitest mixto

Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.

Una fila completamente nula indica…

1. Ecuación redundante
2. Incompatibilidad automática
3. Solución única automática

Solución y explicación

Respuesta: Ecuación redundante. No añade restricciones, pero hay que revisar las demás filas.

Det(A)=0 en un sistema cuadrado no homogéneo…

1. Implica siempre infinitas soluciones
2. Requiere comparar con la ampliada
3. Implica siempre ninguna

Solución y explicación

Respuesta: Requiere comparar con la ampliada. La columna b distingue compatibilidad de incompatibilidad.

Antes de dividir por a−1 hay que…

1. Suponer a=0
2. Separar a=1
3. Eliminar el parámetro

Solución y explicación

Respuesta: Separar a=1. Ese valor podría producir un sistema distinto.

0=5 en la matriz escalonada implica…

1. Infinitas soluciones
2. Ninguna solución
3. Una variable libre

Solución y explicación

Respuesta: Ninguna solución. Es una contradicción.

Un sistema homogéneo…

1. Siempre tiene al menos la solución cero
2. Nunca es compatible
3. Siempre tiene infinitas soluciones

Solución y explicación

Respuesta: Siempre tiene al menos la solución cero. Solo tiene infinitas si faltan pivotes respecto a incógnitas.

Una solución real de un problema de conteo…

1. Siempre es admisible
2. Debe redondearse sin revisar
3. Debe comprobar integridad y otras restricciones

Solución y explicación

Respuesta: Debe comprobar integridad y otras restricciones. Redondear puede dejar de satisfacer las ecuaciones.

Elegir valores concretos de parámetros…

1. Describe siempre todas las soluciones
2. Elimina la necesidad de parametrizar
3. Da una solución particular

Solución y explicación

Respuesta: Da una solución particular. El conjunto completo requiere permitir todos los valores admisibles.

El número de parámetros en un compatible es…

1. Número de ecuaciones siempre
2. Rango más incógnitas
3. Incógnitas menos rango común

Solución y explicación

Respuesta: Incógnitas menos rango común. Cada variable no principal puede actuar como libre.

La discusión completa debe cubrir…

1. Todos los valores del parámetro
2. Solo un ejemplo numérico
3. Solo donde el determinante no es cero

Solución y explicación

Respuesta: Todos los valores del parámetro. Los casos singulares son parte esencial de la respuesta.

Refuerzo 5 · Flashcards del tema

Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.

¿Qué operaciones conserva Gauss?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Operaciones elementales equivalentes sobre ecuaciones completas.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué debe transformarse junto a coeficientes?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

El término independiente de cada fila.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué es una variable libre?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Una incógnita sin pivote que se usa como parámetro.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo verificar una solución?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Sustituyendo en las ecuaciones originales.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué compara Rouché–Frobenius?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Rangos de coeficientes y ampliada.

Intenta responder antes de mirar.

¿Condición de solución única?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Rangos iguales al número de incógnitas.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué garantiza ser homogéneo?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Existencia de la solución cero.

Intenta responder antes de mirar.

¿Determinante cero basta para clasificar?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No en un sistema no homogéneo; falta examinar b.

Intenta responder antes de mirar.

¿Parámetro e incógnita son lo mismo?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No: el parámetro identifica un sistema dentro de una familia.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué hacer con los valores singulares?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Sustituirlos y estudiar rangos o ecuaciones sin divisiones inválidas.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué añade el contexto al álgebra?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Restricciones como no negatividad, límites o integridad.

Intenta responder antes de mirar.

¿Por qué no redondear cantidades indivisibles?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Porque la solución redondeada puede incumplir los datos exactos.

Intenta responder antes de mirar.

Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior

Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.

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Fuentes y revisión editorial

Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.

• Real Decreto 243/2022, texto consolidado: enseñanzas mínimas de Bachillerato
• Orden de 30 de mayo de 2023: currículo de Bachillerato en Andalucía