Reconocer primitivas y aplicar sustitución, integración por partes y descomposición racional sencilla.
Míralo en un dibujo
Las funciones F(x)=x² y G(x)=x²+2 tienen la misma derivada 2x. Las constantes desplazan la gráfica, pero no cambian su pendiente.
Antes de seguir: ¿Por qué aparece +C en una integral indefinida?
Comprueba tu razonamiento
Porque derivar cualquier constante da cero, de modo que hay toda una familia de primitivas.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Derivadas; Factorización; Interpretación gráfica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Por qué aparece +C?
Todas las funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada en un intervalo.
En un minuto
- Todas las funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada en un intervalo.
- Cuando aparece una composición acompañada de la derivada interior.
- ∫u dv=uv−∫v du.
- arctan x+C.
Entiende la idea
El concepto
Una primitiva de f en un intervalo es una función F cuya derivada coincide con f. La integral indefinida representa la familia F+C, porque añadir una constante no cambia la derivada. La constante puede ser distinta en componentes separadas del dominio; por eso fórmulas con logaritmos y denominadores deben interpretarse en intervalos donde estén definidas.
La regla de potencias invierte la derivación: para n≠−1, una primitiva de xⁿ es xⁿ⁺¹/(n+1). El caso x⁻¹ produce ln|x|, no la fórmula anterior con denominador cero. También conviene reconocer exponenciales, seno, coseno y la forma 1/(1+x²), cuya primitiva es arctan x.
Cómo utilizarlo sin errores
La sustitución busca una función interior cuya derivada aparezca como factor. Si u=g(x), du=g′(x)dx, la integral puede simplificarse. No basta cambiar una parte de la expresión y dejar factores incompatibles de x y u. Al terminar una integral indefinida se regresa a x.
La integración por partes procede de la regla del producto: ∫u dv=uv−∫v du. Es útil cuando una parte se simplifica al derivarse, como polinomios o logaritmos. Las fracciones racionales pueden requerir división y descomposición en fracciones simples. Ningún método sustituye la comprobación final: derivar la respuesta permite verificar coeficientes, signos y dominio. No todas las funciones tienen primitivas expresables mediante funciones elementales, aunque puedan integrarse numéricamente en intervalos apropiados.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C, n≠−1. ∫dx/x=ln|x|+C. ∫u dv=uv−∫v du. ∫g′(x)/g(x)dx=ln|g(x)|+C.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula ∫2x/(1+x²) dx y ∫xeˣ dx.
- En la primera, u=1+x² y du=2x dx. Queda ∫du/u=ln|u|+C=ln(1+x²)+C.
- En la segunda, por partes u=x, dv=eˣdx, du=dx y v=eˣ.
- El resultado es xeˣ−∫eˣdx=(x−1)eˣ+C. Derivando se recupera xeˣ.
Ejemplo 2 · Calcula ∫1/(x²−1) dx en intervalos que no crucen ±1.
- Se factoriza x²−1=(x−1)(x+1). Buscamos A/(x−1)+B/(x+1).
- 1=A(x+1)+B(x−1) da A=1/2 y B=−1/2.
- La primitiva es (1/2)ln|x−1|−(1/2)ln|x+1|+C, válida por intervalos del dominio.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula ∫(3x²−2x+4) dx.
Primera ayuda
Integra término a término.
Ver solución razonada
x³−x²+4x+C. Su derivada devuelve los tres términos.
Práctica 2 · Calcula ∫ln x dx para x>0.
Primera ayuda
Por partes, u=ln x y dv=dx.
Ver solución razonada
u′=1/x y v=x. La integral es xln x−∫1 dx=xln x−x+C.
Práctica 3 · Calcula ∫3cos(3x) dx y ∫1/(1+x²) dx.
Primera ayuda
Reconoce derivadas elementales.
Ver solución razonada
La primera es sen(3x)+C; la segunda arctan x+C. El factor 3 de la primera coincide con la derivada del argumento.
El error que debes evitar
No olvidar +C en integrales indefinidas. No usar la regla de potencia con n=−1. No eliminar valores absolutos del logaritmo sin justificar el signo.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La primitiva de 1/x es…
Solución y explicación
Respuesta: ln|x|+C en intervalos sin cero. El exponente −1 es el caso logarítmico especial.
La comprobación de una primitiva consiste en…
Solución y explicación
Respuesta: Derivarla. La derivada debe coincidir con el integrando en su dominio.
En una sustitución se debe…
Solución y explicación
Respuesta: Transformar coherentemente integrando y diferencial. La relación du=g′(x)dx es parte del cambio de variable.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Por qué aparece +C?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Todas las funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada en un intervalo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo suele ayudar sustitución?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cuando aparece una composición acompañada de la derivada interior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Fórmula de integración por partes?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
∫u dv=uv−∫v du.
Intenta responder antes de mirar.
¿Primitiva de 1/(1+x²)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
arctan x+C.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Deriva la respuesta del segundo ejemplo, reúne las fracciones y comprueba que se recupera exactamente 1/(x²−1).
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.