Derivar composiciones, productos y cocientes, indicando el dominio de la función y de su derivada.
Míralo en un dibujo
Para y=(3x²+1)⁵, la derivada exterior es 5(3x²+1)⁴ y la interior es 6x. El producto es 30x(3x²+1)⁴.
Antes de seguir: ¿Qué factor falta en 5(3x²+1)⁴?
Comprueba tu razonamiento
La derivada interior 6x. Omitirla es el error característico de la regla de la cadena.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Reglas de derivación; Dominio y continuidad; Resolución de ecuaciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Primer paso para la cadena?
Separar función exterior e interior.
En un minuto
- Separar función exterior e interior.
- aᵘ ln(a)u′.
- Porque base y exponente dependen de x.
- 2yy′.
Entiende la idea
El concepto
La derivada mide el cambio local de una función y la pendiente de su recta tangente cuando existe. En una composición f(g(x)), la regla de la cadena multiplica la derivada de la función exterior evaluada en g(x) por la derivada interior. Identificar capas antes de operar ayuda a evitar factores omitidos.
Las reglas de producto y cociente se combinan con la cadena. La derivada de uv es u′v+uv′, no u′v′. La de u/v es (u′v−uv′)/v² donde el denominador original no es cero. Exponenciales y logaritmos requieren cuidado: d(eᵘ)/dx=eᵘu′ y d(lnu)/dx=u′/u cuando u>0 en el contexto real.
Cómo utilizarlo sin errores
El dominio debe revisarse antes y después. Una función puede estar definida en un extremo donde su derivada no existe o no sea finita, como √x en cero. Las simplificaciones algebraicas de la derivada no amplían automáticamente el dominio de la función original. En trigonometría, las fórmulas habituales de derivación usan radianes.
Para expresiones como xˣ con x>0, la derivación logarítmica facilita el cálculo: se toma logaritmo, se deriva y después se recupera la función. En relaciones implícitas puede derivarse ambos miembros tratando y como función de x, multiplicando por y′ al derivar términos que dependan de y. No hace falta despejar siempre antes, pero sí indicar los puntos donde la pendiente resultante está definida.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
(f∘g)′=(f′∘g)g′. (uv)′=u′v+uv′. (u/v)′=(u′v−uv′)/v². (lnu)′=u′/u. (eᵘ)′=eᵘu′.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Deriva f(x)=ln(1+x²) y g(x)=e^(senx).
- En f, la exterior es ln y la interior 1+x². f′=2x/(1+x²), válida para todo x real porque 1+x²>0.
- En g, la exterior es exponencial y la interior senx. g′=e^(senx)cosx.
- No se pierde el factor de la derivada interior en ninguna de las composiciones.
Ejemplo 2 · Deriva y=xˣ para x>0 mediante logaritmos.
- Tomamos ln y=x ln x, permitido porque x>0 y xˣ>0.
- Derivamos: y′/y=ln x+1.
- Por tanto y′=xˣ(ln x+1). No es correcto usar solo la regla de potencia con exponente constante, porque aquí el exponente también cambia.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Deriva f(x)=(x²+1)eˣ.
Primera ayuda
Aplica producto, después simplifica.
Ver solución razonada
f′=2xeˣ+(x²+1)eˣ=eˣ(x²+2x+1)=eˣ(x+1)².
Práctica 2 · Deriva √(ln x) e indica dónde tiene esa derivada finita.
Primera ayuda
Revisa primero ln x≥0 y luego el denominador de la derivada.
Ver solución razonada
La función real tiene dominio x≥1. Para x>1, f′=1/(2x√(ln x)). En x=1 no tiene derivada finita ordinaria; la expresión no se extiende allí.
Práctica 3 · En x²+y²=25, obtiene y′ donde y≠0 y calcula la pendiente en (3,4).
Primera ayuda
Deriva y² como 2yy′.
Ver solución razonada
2x+2yy′=0, luego y′=−x/y. En (3,4), pendiente −3/4. La fórmula no da una pendiente finita en puntos con y=0.
El error que debes evitar
No olvidar derivadas interiores. No derivar producto multiplicando derivadas. No declarar una derivada en un punto fuera del dominio o con pendiente infinita.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La derivada de e^(3x²) es…
Solución y explicación
Respuesta: 6xe^(3x²). La cadena añade la derivada 6x del exponente.
(uv)′ vale…
Solución y explicación
Respuesta: u′v+uv′. Se deriva un factor cada vez y se suman contribuciones.
Una fórmula simplificada de f′…
Solución y explicación
Respuesta: Debe conservar las restricciones pertinentes. La simplificación no crea valores o derivadas inexistentes de f.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Primer paso para la cadena?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Separar función exterior e interior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Derivada de aᵘ con a>0 constante?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
aᵘ ln(a)u′.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué xˣ no es una potencia de exponente constante?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Porque base y exponente dependen de x.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué aparece al derivar y² implícitamente?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
2yy′.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Construye la recta tangente a ln(1+x²) en x=1 usando tanto el valor de la función como la pendiente calculada.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.