Elegir entre modelos binomial y normal y calcular probabilidades con parámetros claramente definidos.
Míralo en un dibujo
Se representa X~B(6;0,5), con probabilidades C(6,k)/64 para k=0,…,6. El valor más probable es 3; las barras suman 1.
Antes de seguir: ¿Qué hipótesis hace falta además de una probabilidad de éxito constante?
Comprueba tu razonamiento
Independencia entre los ensayos, junto con un número fijo de ellos y dos resultados por ensayo.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Binomial; Normal; Probabilidad acumulada.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Condiciones binomiales?
n fijo, independencia, dos categorías y p constante.
En un minuto
- n fijo, independencia, dos categorías y p constante.
- Probabilidad acumulada a la izquierda en la normal estándar.
- 1−Φ(z).
- Si el texto usa desviación o varianza.
Entiende la idea
El concepto
Una binomial cuenta éxitos en un número fijo de ensayos independientes con probabilidad constante p. Es discreta y toma valores enteros de cero a n. Su esperanza es np y su varianza np(1−p). La fórmula incorpora el coeficiente combinatorio porque un mismo número de éxitos puede distribuirse de varios modos entre los ensayos.
Una normal es continua y se caracteriza por media μ y desviación típica σ>0. En este curso la notación N(μ,σ) usa explícitamente desviación como segundo parámetro. Otros textos escriben la varianza: comprobar la convención evita tipificar con σ² en lugar de σ. Las probabilidades normales son áreas y un punto aislado tiene probabilidad cero.
Cómo utilizarlo sin errores
Tipificar Z=(X−μ)/σ permite usar la distribución estándar. Se proporcionan valores de Φ, el área acumulada a la izquierda. Para intervalos se restan acumuladas; para colas derechas se toma el complementario. Un percentil se calcula invirtiendo la relación x=μ+σz.
Elegir modelo requiere examinar cómo se genera la variable. Una medición no es normal solo por tener decimales, y un conteo no es binomial solo por ser entero. Dependencia, probabilidad variable o muestreo sin reemplazamiento pueden invalidar una binomial exacta. Los datos ficticios de los ejemplos sirven para practicar estas decisiones y no describen resultados reales de alumnos ni predicen su nota futura.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
X~B(n,p): P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ; μ=np; σ=√[np(1−p)]. Normal: Z=(X−μ)/σ.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · X~B(4,0,25). Calcula P(X=1), P(X≥1), media y desviación.
- P(X=1)=4·0,25·0,75³=0,421875.
- P(X≥1)=1−0,75⁴=0,68359375.
- μ=1 y σ=√(4·0,25·0,75)=√0,75≈0,866. La esperanza no determina un resultado individual.
Ejemplo 2 · Y es normal con media 100 y desviación 15. Calcula P(85≤Y≤130), usando Φ(−1)=0,15866 y Φ(2)=0,97725.
- Los extremos tipificados son (85−100)/15=−1 y (130−100)/15=2.
- La probabilidad es Φ(2)−Φ(−1)=0,97725−0,15866=0,81859.
- Aproximadamente 81,86 % del área del modelo queda en ese intervalo.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Para X~B(3,0,5), calcula P(X≤1).
Primera ayuda
Suma cero y un éxito.
Ver solución razonada
P0=1/8 y P1=3/8, por lo que la probabilidad es 1/2.
Práctica 2 · Una normal tiene μ=50 y σ=5. Halla su percentil 95 con z₀,₉₅=1,64485.
Primera ayuda
Deshaz la tipificación.
Ver solución razonada
x=50+5·1,64485=58,22425, aproximadamente 58,22.
Práctica 3 · ¿Puede modelarse exactamente con binomial la cantidad de rojas en 8 extracciones sin reemplazamiento de una urna pequeña?
Primera ayuda
Revisa independencia y constancia de p.
Ver solución razonada
No en general. La composición cambia y las extracciones dependen entre sí. Habría que usar el modelo sin reemplazamiento o justificar una aproximación apropiada.
El error que debes evitar
No confundir varianza y desviación. No usar una densidad como probabilidad puntual. No olvidar el combinatorio de una probabilidad binomial exacta.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La binomial es…
Solución y explicación
Respuesta: Discreta. Cuenta un número entero de éxitos; solo es simétrica en casos particulares.
La desviación binomial es…
Solución y explicación
Respuesta: √[np(1−p)]. np(1−p) es la varianza.
En una normal, P(X=a) es…
Solución y explicación
Respuesta: Cero. Un punto tiene área nula.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Condiciones binomiales?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
n fijo, independencia, dos categorías y p constante.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa Φ(z)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Probabilidad acumulada a la izquierda en la normal estándar.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo hallar una cola derecha?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
1−Φ(z).
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué revisar en N(μ,segundo parámetro)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Si el texto usa desviación o varianza.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Compara en una tabla un conteo de aciertos y una medición continua: soporte, condiciones del modelo y tratamiento de igualdades en los extremos.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.