Límites y continuidad

Matemáticas II · Unidad 3

Las hipótesis de un teorema son parte del razonamiento, no una frase decorativa.

Lecciones del tema

Resumen y esquema de decisión

Formulario del tema

Límites e indeterminaciones

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1(x\text{ en radianes})$$

$$lim\frac{f}{g}=lim\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}\text{solo cuando se cumplen las hipótesis de L’Hôpital}$$

Continuidad y teoremas básicos

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)\text{continuidad}$$

$$f(a)f(b)<0\Rightarrow \mathrm{\exists }c\in (a,b):f(c)=0\text{si }f\text{ es continua en }[a,b]$$

Asíntotas y funciones a trozos

$$m=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x},n=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-mx)$$

$$y=mx+n\text{si }m,n\text{ son finitos}$$

Refuerzo 1 · Recuperación activa

Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.

¿Qué elimina una racionalización?

En muchos casos, una diferencia de raíces que produce indeterminación.

¿Qué repara una discontinuidad evitable?

Asignar el valor del límite en el punto.

¿Por qué estudiar +∞ y −∞ separados?

Pueden tener comportamientos diferentes.

Refuerzo 2 · Detecta el error

Refuerzo 3 · Reto de transferencia

Refuerzo 4 · Minitest mixto

Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.

Obtener 0/0 significa…

1. Resultado cero
2. Necesidad de analizar una indeterminación
3. Resultado uno

Solución y explicación

Respuesta: Necesidad de analizar una indeterminación. La forma no determina el límite.

Bolzano garantiza…

1. Exactamente una raíz
2. Al menos una raíz bajo sus hipótesis
3. La fórmula de la raíz

Solución y explicación

Respuesta: Al menos una raíz bajo sus hipótesis. La unicidad requiere un argumento adicional.

Denominador cero implica asíntota vertical…

1. Siempre
2. No: hay que calcular el límite
3. Solo si x es positivo

Solución y explicación

Respuesta: No: hay que calcular el límite. Una cancelación puede producir un límite finito.

En l’Hôpital se deriva…

1. Numerador y denominador por separado
2. Todo el cociente como una derivada ordinaria
3. Solo el numerador

Solución y explicación

Respuesta: Numerador y denominador por separado. La regla compara un nuevo cociente de derivadas bajo hipótesis.

Si un teorema no es aplicable…

1. Su conclusión es necesariamente falsa
2. La función deja de existir
3. Solo falta esa garantía

Solución y explicación

Respuesta: Solo falta esa garantía. La conclusión podría ser cierta por otras razones.

Una función puede cruzar una horizontal asintótica…

1. Sí
2. Nunca
3. Solo en el infinito

Solución y explicación

Respuesta: Sí. La condición se refiere al límite lejano.

Un límite puede existir donde f no está definida…

1. Nunca
2. Solo al infinito
3. Sí

Solución y explicación

Respuesta: Sí. El límite depende del entorno, no del valor puntual.

Weierstrass exige aquí…

1. Continuidad en un intervalo cerrado y acotado
2. Solo derivada cero
3. Un intervalo abierto siempre

Solución y explicación

Respuesta: Continuidad en un intervalo cerrado y acotado. Así se garantiza alcanzar extremos absolutos.

Igualar valores de dos ramas garantiza…

1. Derivabilidad siempre
2. Igualdad de curvatura
3. Continuidad si coinciden también con el valor asignado

Solución y explicación

Respuesta: Continuidad si coinciden también con el valor asignado. La pendiente exige otra condición.

Refuerzo 5 · Flashcards del tema

Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.

¿Condición para un límite bilateral?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Laterales existentes e iguales.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué elimina una racionalización?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

En muchos casos, una diferencia de raíces que produce indeterminación.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué unidad angular usan los límites trigonométricos notables?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Radianes.

Intenta responder antes de mirar.

¿Puede aplicarse l’Hôpital directamente a ∞−∞?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No: primero se transforma a un cociente adecuado y se revisan hipótesis.

Intenta responder antes de mirar.

¿Tres requisitos de continuidad puntual?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Valor definido, límite existente e igualdad entre ambos.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué repara una discontinuidad evitable?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Asignar el valor del límite en el punto.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué puede demostrar unicidad de una raíz?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Monotonía estricta, junto con existencia.

Intenta responder antes de mirar.

¿Máximo y supremo son siempre lo mismo?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No: el máximo debe alcanzarse.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo detectar una oblicua racional habitual?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Mediante división de polinomios y resto que tienda a cero.

Intenta responder antes de mirar.

¿Por qué estudiar +∞ y −∞ separados?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Pueden tener comportamientos diferentes.

Intenta responder antes de mirar.

¿Un hueco es una asíntota vertical?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

No: su límite es finito.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué añade derivabilidad a continuidad en un empalme?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Compatibilidad de pendientes laterales.

Intenta responder antes de mirar.

Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior

Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.

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Fuentes y revisión editorial

Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.

• Real Decreto 243/2022, texto consolidado: enseñanzas mínimas de Bachillerato
• Orden de 30 de mayo de 2023: currículo de Bachillerato en Andalucía