Calcular integrales definidas y aplicar el teorema fundamental del cálculo sin ignorar discontinuidades.
Míralo en un dibujo
Se sombrea bajo y=x entre x=0 y x=2. La integral definida vale 2, el área del triángulo de base 2 y altura 2.
Antes de seguir: ¿Qué pasaría con una zona bajo el eje x?
Comprueba tu razonamiento
Aportaría valor negativo a la integral. Para área geométrica hay que separar signos o usar valores absolutos de los aportes.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Derivadas; Factorización; Interpretación gráfica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué dice Barrow?
La integral es la diferencia de valores de una primitiva válida.
En un minuto
- La integral es la diferencia de valores de una primitiva válida.
- Cambia el signo.
- No: puede haber cancelación.
- Un factor g′(x) por la regla de la cadena.
Entiende la idea
El concepto
La integral definida representa acumulación con signo. Para una función continua, puede interpretarse como límite de sumas de áreas rectangulares orientadas. Las partes por encima del eje aportan positivamente y las situadas por debajo, negativamente. Por eso el resultado no coincide siempre con el área geométrica total.
El teorema fundamental del cálculo conecta derivación e integración. Si f es continua y G(x)=∫ₐˣf(t)dt, entonces G′(x)=f(x). Si F es una primitiva de f en el intervalo, la regla de Barrow permite calcular ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)−F(a). La constante de integración se cancela y no se añade un +C al valor numérico final.
Cómo utilizarlo sin errores
La integral es lineal y aditiva respecto a intervalos: puede dividirse en puntos interiores y sumarse. Invertir los límites cambia el signo. La simetría puede simplificar: una función impar integrable en [−a,a] tiene integral cero; una par permite duplicar la integral de cero a a. Estas propiedades exigen que la integral correspondiente esté bien definida.
No se puede aplicar Barrow atravesando una singularidad sin estudiar antes la integral impropia. Por ejemplo, 1/x no es continua en [−1,1] y sus integrales laterales divergen; la cancelación formal de logaritmos no produce una integral ordinaria igual a cero. Antes de sustituir extremos, revisa dominio, continuidad o condiciones de integrabilidad y la validez de la primitiva en todo el intervalo pertinente.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
∫ₐᵇf=F(b)−F(a). ∫ᵦₐf=−∫ₐᵦf. d/dx[∫ₐˣf(t)dt]=f(x) si f es continua. ∫ₐᶜf+∫ᶜᵇf=∫ₐᵇf.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula ∫₀²(3x²+1) dx.
- El integrando es continuo y una primitiva es F=x³+x.
- Barrow da F(2)−F(0)=8+2−0=10.
- El resultado es un número, sin constante C; si el integrando tuviera unidades, habría que multiplicarlas por la unidad de x.
Ejemplo 2 · Sea G(x)=∫₁ˣ² ln t dt para x>0. Calcula G′(x).
- La integral tiene extremo superior x² y ln t es continua para t>0.
- Por el teorema fundamental y la cadena, G′(x)=ln(x²)·2x.
- Para x>0 puede escribirse 4xln x. No se olvida la derivada del extremo superior.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula ∫₋₁¹x³ dx y explica su relación con áreas.
Primera ayuda
Usa imparidad o una primitiva.
Ver solución razonada
La integral es 0 por cancelación de contribuciones opuestas. El área geométrica total es 2∫₀¹x³dx=1/2, no cero.
Práctica 2 · Si ∫₀³f=7 y ∫₀¹f=2, calcula ∫₁³f y ∫₃¹f.
Primera ayuda
Usa aditividad y cambio de orientación.
Ver solución razonada
∫₁³f=7−2=5 y ∫₃¹f=−5.
Práctica 3 · ¿Es válido afirmar ∫₋₁¹1/x dx=ln|1|−ln|−1|=0?
Primera ayuda
Comprueba la singularidad interior.
Ver solución razonada
No. La función tiene una singularidad en cero y las integrales impropias laterales no convergen. Una cancelación simétrica especial no equivale a la integral impropia ordinaria ni justifica Barrow aquí.
El error que debes evitar
No confundir integral con área absoluta. No añadir C al número final. No cruzar una asíntota interior aplicando una fórmula formal.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Una integral definida puede ser negativa…
Solución y explicación
Respuesta: Sí. Mide acumulación con signo.
En el resultado numérico de Barrow…
Solución y explicación
Respuesta: No se añade +C. La constante se cancela al restar extremos.
Antes de integrar sobre una singularidad…
Solución y explicación
Respuesta: Se estudia la convergencia apropiada. La primitiva no permite cruzar cualquier discontinuidad sin análisis.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué dice Barrow?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La integral es la diferencia de valores de una primitiva válida.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hace invertir límites?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cambia el signo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Integral cero implica función cero?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: puede haber cancelación.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué añade un extremo superior g(x)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un factor g′(x) por la regla de la cadena.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Calcula la derivada de H(x)=∫₀ˢᵉⁿˣ(1+t²)dt y verifica el resultado obteniendo primero una expresión explícita de H.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.