Operar con vectores del espacio y usar productos escalar, vectorial y mixto en geometría.
Míralo en un dibujo
Se representa el vector v=(2,3,2) en unos ejes tridimensionales mediante una proyección esquemática. Su módulo es √17; el dibujo no conserva los ángulos espaciales.
Antes de seguir: ¿Puedes medir un ángulo real del espacio directamente sobre esta proyección?
Comprueba tu razonamiento
No. La perspectiva deforma los ángulos; deben calcularse con las coordenadas y los productos adecuados.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Vectores; Sistemas lineales; Producto escalar.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué detecta u·v=0 con vectores no nulos?
Perpendicularidad.
En un minuto
- Perpendicularidad.
- Su signo.
- Área del paralelogramo.
- Un sexto del módulo del producto mixto.
Entiende la idea
El concepto
Un vector del espacio se expresa mediante tres componentes respecto a una base. Su módulo es la raíz de la suma de cuadrados y un vector unitario se obtiene dividiendo por el módulo si el vector no es cero. La suma y el producto por escalares permiten describir desplazamientos y combinaciones lineales.
El producto escalar u·v suma productos de componentes y también vale |u||v|cosθ. Permite calcular ángulos entre vectores y comprobar perpendicularidad cuando ambos son no nulos. Para el ángulo entre rectas suele escogerse el menor ángulo y se usa el valor absoluto del producto escalar; para vectores orientados puede interesar el ángulo completo entre cero y π.
Cómo utilizarlo sin errores
El producto vectorial u×v es un vector perpendicular a ambos, con módulo igual al área del paralelogramo generado. Su orientación sigue el convenio de mano derecha y cambia de signo al invertir el orden. Dos vectores no nulos paralelos tienen producto vectorial cero. La mitad de su módulo da el área del triángulo correspondiente.
El producto mixto (u×v)·w es un número y su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo. Si es cero, los tres vectores son linealmente dependientes y coplanarios en el sentido de estar contenidos en un subespacio de dimensión como máximo dos. Para un tetraedro definido por tres aristas desde el mismo vértice, el volumen es un sexto del valor absoluto. Cada producto responde a una pregunta distinta: no deben intercambiarse escalares y vectores en una fórmula.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
u·v=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃. u×v=(u₂v₃−u₃v₂,u₃v₁−u₁v₃,u₁v₂−u₂v₁). V=|(u×v)·w|.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Para u=(1,0,1) y v=(0,1,1), calcula ángulo y área del triángulo que generan.
- u·v=1 y ambos módulos son √2. cosθ=1/2, luego θ=60°.
- u×v=(−1,−1,1), cuyo módulo es √3.
- El área del paralelogramo es √3 y la del triángulo √3/2.
Ejemplo 2 · Con u=(1,2,0), v=(0,1,1) y w=(1,0,2), calcula volumen del paralelepípedo y del tetraedro asociado.
- u×v=(2,−1,1). El producto mixto con w es 2·1+(−1)·0+1·2=4.
- El volumen del paralelepípedo es |4|=4 unidades cúbicas.
- El tetraedro de aristas u,v,w desde un vértice tiene volumen 4/6=2/3.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Normaliza u=(2,−1,2).
Primera ayuda
Calcula su módulo antes de dividir.
Ver solución razonada
|u|=√(4+1+4)=3. Un unitario con su sentido es (2/3,−1/3,2/3).
Práctica 2 · ¿Son perpendiculares (1,2,−1) y (2,0,2)?
Primera ayuda
Calcula el producto escalar.
Ver solución razonada
1·2+2·0+(−1)·2=0. Como ambos son no nulos, son perpendiculares.
Práctica 3 · Si w=2u−v, ¿qué vale (u×v)·w?
Primera ayuda
Usa la perpendicularidad del producto vectorial con u y v.
Ver solución razonada
Vale 2(u×v)·u−(u×v)·v=0. Los tres son dependientes y el volumen del paralelepípedo es cero.
El error que debes evitar
No llamar vector al producto escalar. No olvidar dividir por dos o seis en áreas y volúmenes. No normalizar el vector cero.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
u×v produce…
Solución y explicación
Respuesta: Un vector. El determinante simbólico es un recurso de cálculo, pero el resultado es vectorial.
El área del triángulo de aristas u,v es…
Solución y explicación
Respuesta: |u×v|/2. El paralelogramo tiene el doble de área.
Producto mixto cero implica…
Solución y explicación
Respuesta: Dependencia lineal. No generan un volumen tridimensional no nulo.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué detecta u·v=0 con vectores no nulos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Perpendicularidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué cambia al invertir un producto vectorial?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Su signo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué mide |u×v|?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Área del paralelogramo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Volumen del tetraedro con tres aristas comunes?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un sexto del módulo del producto mixto.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Comprueba que (2,−1,1), el producto vectorial del segundo ejemplo, es perpendicular tanto a u como a v mediante dos productos escalares.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.