Interpretar probabilidades condicionadas y construir árboles o tablas sin invertir el condicionamiento.
Míralo en un dibujo
A tiene probabilidad 0,4 y B, 0,6. Tras A, P(E|A)=0,75; tras B, P(E|B)=0,25. P(E)=0,4·0,75+0,6·0,25=0,45.
Antes de seguir: ¿Qué probabilidad tiene el camino A y E?
Comprueba tu razonamiento
0,4·0,75=0,30. Se multiplican las probabilidades que aparecen a lo largo del camino.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Sucesos; Fracciones; Árboles.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué exige definir P(A|B)?
P(B)>0.
En un minuto
- P(B)>0.
- Multiplicando por la probabilidad del condicionante.
- La composición y las probabilidades posteriores.
- Expresar en palabras entre quiénes se calcula el porcentaje.
Entiende la idea
El concepto
La probabilidad condicionada P(A|B) expresa la probabilidad de A cuando se sabe que B ha ocurrido, siempre que P(B)>0. El espacio de referencia se restringe a B: por eso el denominador es P(B), no la probabilidad total de toda la población. En una tabla de frecuencias, se divide la intersección por el total de la fila o columna condicionante.
La regla del producto P(A∩B)=P(B)P(A|B) permite reconstruir probabilidades conjuntas. En un árbol, se multiplican las probabilidades de cada camino y se suman los caminos incompatibles que corresponden al suceso buscado. Cada conjunto de ramas que sale del mismo nodo debe sumar uno.
Cómo utilizarlo sin errores
P(A|B) y P(B|A) no son, en general, iguales. Un porcentaje calculado entre quienes pertenecen a un grupo no puede interpretarse automáticamente como el porcentaje de ese grupo entre quienes presentan cierta característica. Escribir el denominador en palabras suele aclarar la diferencia antes de realizar operaciones.
En extracciones sin reemplazamiento, la composición cambia y las probabilidades de etapas posteriores dependen de resultados previos. Con reemplazamiento y mezcla ideal puede modelarse independencia entre extracciones. La elección del modelo debe explicitarse. Las tablas y árboles son herramientas equivalentes cuando representan los mismos datos: conviene elegir la que haga visible la información y permita comprobar que todas las probabilidades son coherentes.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
P(A|B)=P(A∩B)/P(B), P(B)>0. P(A∩B)=P(B)P(A|B). En general P(A|B)≠P(B|A).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · En una tabla ficticia de 100 alumnos, 60 cursan A y 30 de ellos usan un recurso R. En total 40 usan R. Calcula P(R|A) y P(A|R).
- P(R|A)=30/60=0,50: entre quienes cursan A, la mitad usa R.
- P(A|R)=30/40=0,75: entre quienes usan R, tres cuartas partes cursan A.
- La intersección es la misma, pero cambia el grupo de referencia y por eso las probabilidades difieren.
Ejemplo 2 · Una urna tiene 4 rojas y 6 azules. Se extraen dos sin reemplazamiento. Calcula dos rojas y exactamente una roja.
- P(RR)=(4/10)(3/9)=2/15.
- Exactamente una roja: P(RA)+P(AR)=(4/10)(6/9)+(6/10)(4/9)=8/15.
- Ambos órdenes son incompatibles y deben sumarse. En la segunda extracción el denominador es 9.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Si P(A)=0,4 y P(B|A)=0,3, calcula P(A∩B).
Primera ayuda
Aplica el producto con el condicionamiento dado.
Ver solución razonada
P(A∩B)=0,4·0,3=0,12. No basta esa información para calcular P(A|B) sin P(B).
Práctica 2 · En un grupo de 80, 20 pertenecen a A y B y 50 pertenecen a B. Calcula P(A|B).
Primera ayuda
El denominador es el tamaño de B.
Ver solución razonada
P(A|B)=20/50=0,4, no 20/80.
Práctica 3 · Repite la probabilidad de dos rojas de la urna con reemplazamiento y mezcla ideal.
Primera ayuda
La proporción vuelve a ser 4/10 en cada etapa.
Ver solución razonada
P(RR)=(4/10)²=0,16=4/25. Difiere de 2/15 sin reemplazamiento.
El error que debes evitar
No usar el total general como denominador de toda condicionada. No omitir órdenes posibles. No suponer independencia cuando cambia la composición.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
En P(A|B), el grupo de referencia es…
Solución y explicación
Respuesta: B. Se supone conocida la ocurrencia de B.
P(A|B) y P(B|A)…
Solución y explicación
Respuesta: Pueden ser diferentes. Tienen denominadores distintos.
En un camino de árbol se…
Solución y explicación
Respuesta: Multiplican probabilidades condicionadas. Después se suman caminos incompatibles cuando corresponde.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué exige definir P(A|B)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
P(B)>0.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo pasar de condicionada a conjunta?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Multiplicando por la probabilidad del condicionante.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué cambia sin reemplazamiento?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La composición y las probabilidades posteriores.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo evitar invertir una condicionada?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Expresar en palabras entre quiénes se calcula el porcentaje.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Completa la tabla de cuatro casillas del primer ejemplo y calcula también P(R|Aᶜ) y P(Aᶜ|Rᶜ), comprobando sus denominadores.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.