Discutir sistemas con parámetros sin perder casos y traducir restricciones de una aplicación.
Míralo en un dibujo
Para x+y=2 y x+ay=2: si a≠1, y=0 y x=2, solución única; si a=1, ambas ecuaciones coinciden y hay infinitas soluciones.
Antes de seguir: ¿Por qué no podemos dividir directamente entre a−1?
Comprueba tu razonamiento
Porque podría ser cero. Al hacerlo sin separar casos perderíamos el caso a=1.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Matrices; Eliminación de Gauss; Determinantes.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Parámetro e incógnita son lo mismo?
No: el parámetro identifica un sistema dentro de una familia.
En un minuto
- No: el parámetro identifica un sistema dentro de una familia.
- Sustituirlos y estudiar rangos o ecuaciones sin divisiones inválidas.
- Restricciones como no negatividad, límites o integridad.
- Porque la solución redondeada puede incumplir los datos exactos.
Entiende la idea
El concepto
Un parámetro es un valor que define una familia de sistemas, no una incógnita que siempre deba resolverse junto con las otras. Para discutir un sistema cuadrado, se calcula el determinante como función del parámetro. Los valores que lo anulan son casos especiales; para los demás suele haber solución única y puede obtenerse una expresión dependiente del parámetro.
Cada valor especial se sustituye en el sistema original o en una transformación válida para todos los casos. Dividir una ecuación por a−1 antes de estudiar a=1 elimina precisamente el caso más importante. El objetivo de la discusión es cubrir todos los valores, indicando si hay solución, cuántas y, cuando se pide, cuáles.
Cómo utilizarlo sin errores
Una solución algebraica puede no ser admisible en el problema contextual. Cantidades de productos, longitudes o personas pueden exigir no negatividad, límites o valores enteros. Estas restricciones se verifican después de resolver el sistema, sin modificar arbitrariamente ecuaciones para hacer positivos los resultados. Si la interpretación exige cantidades enteras y la solución no lo es, debe decirse que ese modelo no produce una combinación factible bajo los datos dados.
Cuando se discute un parámetro, es útil presentar una tabla de casos con determinante, rangos y resultado. Las soluciones generales deben comprobarse simbólicamente o con sustitución, y los valores excluidos deben permanecer visibles. Cerca de un valor singular, pequeñas variaciones de datos pueden producir cambios grandes de solución; esto recuerda que el álgebra exacta y la estabilidad numérica son aspectos relacionados pero distintos.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Plan: det(A(a)) → valores singulares → casos → rangos → solución → restricciones contextuales. Nunca dividir por a−a₀ sin separar a=a₀.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Discute y resuelve x+y+z=1; x+ay+z=2; x+y+az=3.
- Restando la primera a las otras: (a−1)y=1 y (a−1)z=2. Si a≠1, y=1/(a−1), z=2/(a−1).
- x=1−3/(a−1)=(a−4)/(a−1). El determinante es (a−1)², por lo que esta solución es única.
- Si a=1, las tres izquierdas coinciden y las derechas 1,2,3 no: sistema incompatible. No se sustituyen a=1 en las fracciones.
Ejemplo 2 · Dos tipos de entrada cuestan 8 y 12 unidades. Se venden 50 entradas e ingresan 520. Calcula cantidades y valida el contexto.
- Sea x el número de entradas de 8 e y el de 12: x+y=50, 8x+12y=520.
- Restando 8 veces la primera: 4y=120, por lo que y=30 y x=20.
- Ambas son enteras no negativas y 20·8+30·12=520. La comprobación incluye significado, no solo solución formal.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · En x+y=2 y x+ay=3, resuelve para a≠1 y discute a=1.
Primera ayuda
Resta ecuaciones.
Ver solución razonada
(a−1)y=1, y=1/(a−1), x=(2a−3)/(a−1). Para a=1 se exigiría simultáneamente x+y=2 y 3: incompatible.
Práctica 2 · En el primer ejemplo, ¿para qué valores de a son x,y,z todos no negativos?
Primera ayuda
Las condiciones de y y z obligan primero al signo del denominador.
Ver solución razonada
y,z≥0 requieren a>1. Entonces x=(a−4)/(a−1)≥0 exige a≥4. Por tanto, los tres son no negativos exactamente para a≥4.
Práctica 3 · Con 10 objetos de precios 3 y 5, ¿puede lograrse un total de 41 usando cantidades enteras?
Primera ayuda
Resuelve x+y=10 y 3x+5y=41.
Ver solución razonada
Se obtiene 2y=11, y=5,5 y x=4,5. Hay solución real única, pero no cantidades enteras: no es factible para objetos indivisibles.
El error que debes evitar
No omitir los parámetros excluidos. No confundir solución única con solución contextualmente válida. No redondear una solución de conteo para simular factibilidad.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Antes de dividir por a−1 hay que…
Solución y explicación
Respuesta: Separar a=1. Ese valor podría producir un sistema distinto.
Una solución real de un problema de conteo…
Solución y explicación
Respuesta: Debe comprobar integridad y otras restricciones. Redondear puede dejar de satisfacer las ecuaciones.
La discusión completa debe cubrir…
Solución y explicación
Respuesta: Todos los valores del parámetro. Los casos singulares son parte esencial de la respuesta.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Parámetro e incógnita son lo mismo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: el parámetro identifica un sistema dentro de una familia.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hacer con los valores singulares?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Sustituirlos y estudiar rangos o ecuaciones sin divisiones inválidas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué añade el contexto al álgebra?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Restricciones como no negatividad, límites o integridad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué no redondear cantidades indivisibles?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Porque la solución redondeada puede incumplir los datos exactos.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Cambia el ingreso del ejemplo de entradas y determina el intervalo de ingresos posibles con 50 entradas y precios 8 y 12, antes de resolver cada caso concreto.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.