Utilizar Rolle y el valor medio y estudiar crecimiento, extremos y curvatura con cambios de signo.
Míralo en un dibujo
La parábola f(x)=(x−2)² decrece para x<2 y crece para x>2. Su derivada 2x−4 cambia de negativa a positiva: en x=2 hay un mínimo. La segunda derivada es positiva.
Antes de seguir: ¿Todo punto con derivada cero es un extremo?
Comprueba tu razonamiento
No. Hay que comprobar el cambio de signo u otro criterio aplicable; por ejemplo, x³ tiene derivada cero en 0 y no tiene allí un extremo.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Reglas de derivación; Dominio y continuidad; Resolución de ecuaciones.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Hipótesis esenciales de Rolle?
Continuidad cerrada, derivabilidad interior e igualdad de extremos.
En un minuto
- Continuidad cerrada, derivabilidad interior e igualdad de extremos.
- Una tangente paralela a la secante en algún punto interior.
- Cambio de f′ de positivo a negativo.
- Cambio de curvatura, no solo anulación de f″.
Entiende la idea
El concepto
El teorema de Rolle requiere continuidad en [a,b], derivabilidad en (a,b) e igualdad de valores extremos. Garantiza un punto interior con derivada cero. El teorema del valor medio sustituye la igualdad de extremos por la conclusión f′(c)=[f(b)−f(a)]/(b−a): en algún punto la pendiente tangente coincide con la secante. Las hipótesis no se omiten aunque la figura parezca sugerente.
El signo de la primera derivada permite estudiar monotonía en intervalos. Donde f′>0, la función crece; donde f′<0, decrece. Un cambio de + a − identifica un máximo local y uno de − a +, un mínimo local. Resolver f′=0 solo produce candidatos: un punto estacionario puede no ser extremo.
Cómo utilizarlo sin errores
La segunda derivada informa sobre la variación de la pendiente. Con la convención usada aquí, f″>0 indica curvatura convexa hacia arriba y f″<0, hacia abajo. Un punto de inflexión requiere cambio de curvatura y pertenencia apropiada a la gráfica; f″=0 por sí solo no basta. Conviene expresar el signo para evitar diferencias terminológicas entre textos sobre convexidad y concavidad.
Para extremos absolutos en un intervalo cerrado, se comparan valores en puntos críticos interiores y extremos del intervalo, además de puntos donde la función exista pero no sea derivable. El estudio global incorpora dominio, continuidad y asíntotas. Una tabla de signos bien construida aporta justificación; un dibujo de calculadora sin análisis puede orientar, pero no demuestra por sí mismo dónde están todos los extremos.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Rolle: f(a)=f(b) → ∃c con f′(c)=0 bajo hipótesis. Valor medio: f′(c)=(f(b)−f(a))/(b−a). Extremos locales: cambio de signo de f′.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Aplica Rolle a f(x)=x²−4x+3 en [1,3].
- Es un polinomio, continuo y derivable. f(1)=0 y f(3)=0.
- Rolle garantiza algún c en (1,3) con f′(c)=0.
- f′=2x−4, de donde c=2. La verificación de hipótesis precede al cálculo.
Ejemplo 2 · Estudia extremos e inflexión de f(x)=x³−3x.
- f′=3x²−3=3(x−1)(x+1): positiva fuera de [−1,1] y negativa entre −1 y 1.
- En x=−1 hay máximo local f=2; en x=1, mínimo local f=−2.
- f″=6x cambia de negativo a positivo en x=0; (0,0) es inflexión. No hay extremos absolutos en toda la recta porque la función no está acotada.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Aplica el valor medio a ln x en [1,e] y encuentra c.
Primera ayuda
La pendiente secante es 1/(e−1).
Ver solución razonada
ln x es continua y derivable en el intervalo adecuado. 1/c=1/(e−1), luego c=e−1, que pertenece a (1,e).
Práctica 2 · ¿x=0 es extremo de f(x)=x³? ¿Y punto de inflexión?
Primera ayuda
Examina signos, no solo derivadas nulas.
Ver solución razonada
f′=3x²≥0 y no cambia de signo al pasar por cero: no hay extremo. f″=6x sí cambia de signo: hay inflexión en (0,0).
Práctica 3 · Encuentra máximo y mínimo absolutos de f(x)=x²−2x en [0,3].
Primera ayuda
Compara el punto crítico x=1 con los extremos.
Ver solución razonada
f(0)=0, f(1)=−1 y f(3)=3. Mínimo absoluto −1 en x=1 y máximo absoluto 3 en x=3.
El error que debes evitar
No confundir candidato con extremo probado. No olvidar extremos cerrados. No aplicar Rolle a |x| en un intervalo que contiene su esquina sin revisar derivabilidad.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
f′(a)=0 garantiza un extremo…
Solución y explicación
Respuesta: No. Debe analizarse el comportamiento alrededor del punto.
f″(a)=0 garantiza inflexión…
Solución y explicación
Respuesta: No sin cambio de curvatura. Por ejemplo x⁴ tiene f″(0)=0 sin cambio de signo.
Para extremos absolutos en [a,b] hay que revisar…
Solución y explicación
Respuesta: También los extremos del intervalo. El máximo o mínimo puede alcanzarse en la frontera.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Hipótesis esenciales de Rolle?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Continuidad cerrada, derivabilidad interior e igualdad de extremos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué representa el valor medio?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una tangente paralela a la secante en algún punto interior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué confirma un máximo local simple por signos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cambio de f′ de positivo a negativo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué confirma una inflexión?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cambio de curvatura, no solo anulación de f″.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Explica por qué |x| en [−1,1] cumple igualdad de extremos pero no permite concluir por Rolle que exista una derivada cero interior.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.