Resolver límites mediante transformaciones justificadas y reconocer indeterminaciones antes de aplicar reglas.
Míralo en un dibujo
Se representa y=x+1 para x distinto de 2, con un hueco en (2,3) y un punto aislado en (2,1). El límite en 2 vale 3, aunque el valor de la función en 2 sea 1.
Antes de seguir: ¿Qué habría que cambiar para lograr continuidad en x=2?
Comprueba tu razonamiento
Definir f(2)=3. Los valores cercanos ya se aproximan a 3 por ambos lados.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Límites laterales; Factorización; Derivación básica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Condición para un límite bilateral?
Laterales existentes e iguales.
En un minuto
- Laterales existentes e iguales.
- En muchos casos, una diferencia de raíces que produce indeterminación.
- Radianes.
- No: primero se transforma a un cociente adecuado y se revisan hipótesis.
Entiende la idea
El concepto
Un límite describe el comportamiento de una función cuando la variable se aproxima a un punto o crece sin cota. No exige que la función esté definida en el punto ni que su valor coincida con el límite. Para un límite bilateral finito, los dos laterales deben existir y ser iguales. En funciones con denominadores o logaritmos conviene determinar primero por dónde puede aproximarse la variable dentro del dominio.
La sustitución directa funciona cuando las operaciones son continuas y las expresiones están definidas. Si aparece 0/0, no se ha obtenido un resultado: hay que transformar. Factorizar, simplificar en un entorno perforado, racionalizar o usar límites notables puede eliminar la indeterminación. En límites al infinito se compara el crecimiento y se divide por potencias dominantes cuando procede.
Cómo utilizarlo sin errores
Los límites notables senx/x→1, (eˣ−1)/x→1 y ln(1+x)/x→1, para x→0, requieren sus condiciones y, en trigonometría, radianes. Pueden combinarse con un cambio de variable que también tienda a cero. La regla de l’Hôpital permite derivar numerador y denominador en ciertos cocientes 0/0 o infinito/infinito cuando se cumplen sus hipótesis y el cociente de derivadas tiene el límite requerido. No se deriva un cociente completo ni se aplica directamente a una diferencia infinito menos infinito.
Es importante elegir el método más claro, no el más sofisticado. Factorizar puede mostrar una discontinuidad evitable mejor que una regla automática. El resultado debe contrastarse con signos, laterales y órdenes de crecimiento. Una manipulación que cambia el dominio cerca del punto puede invalidar la conclusión.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
limₓ→₀ senx/x=1; limₓ→₀(eˣ−1)/x=1; limₓ→₀ln(1+x)/x=1. 0/0 e ∞/∞ son formas indeterminadas, no valores.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula limₓ→₂ (x²−4)/(x−2) y limₓ→₀ (√(1+x)−1)/x.
- En el primero, x²−4=(x−2)(x+2). Para x≠2 el cociente vale x+2 y el límite es 4.
- En el segundo, multiplicamos por el conjugado y obtenemos 1/(√(1+x)+1) para x≠0.
- Al tender x a cero, el resultado es 1/2. Las simplificaciones son válidas en un entorno del punto salvo en el propio punto.
Ejemplo 2 · Calcula limₓ→₀ sen(3x)/x y limₓ→₀(e²ˣ−1)/x.
- sen(3x)/x=3·sen(3x)/(3x). Como 3x→0, el límite notable da 3.
- (e²ˣ−1)/x=2·(e²ˣ−1)/(2x), cuyo límite es 2.
- Ambos factores exteriores proceden del cambio de escala en la variable; no se omiten por sustituir directamente.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula limₓ→∞ (3x²−x+1)/(2x²+5).
Primera ayuda
Divide numerador y denominador por x².
Ver solución razonada
El cociente tiende a (3−0+0)/(2+0)=3/2.
Práctica 2 · Calcula limₓ→∞(√(x²+4x)−x).
Primera ayuda
Racionaliza y recuerda que x es positivo para x suficientemente grande.
Ver solución razonada
La expresión equivale a 4x/(√(x²+4x)+x)=4/(√(1+4/x)+1), que tiende a 2.
Práctica 3 · Calcula limₓ→₀ (eˣ−1−x)/x² por l’Hôpital justificando la forma.
Primera ayuda
Aparece 0/0; revisa de nuevo tras la primera derivación.
Ver solución razonada
Primera aplicación: (eˣ−1)/(2x), aún 0/0. Segunda: eˣ/2→1/2. Las funciones son derivables cerca de cero y los denominadores derivados no se anulan en el entorno perforado apropiado.
El error que debes evitar
No sustituir 0/0 por cero. No usar √(x²)=x cuando x puede ser negativo. No aplicar l’Hôpital sin verificar la forma y las condiciones.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Obtener 0/0 significa…
Solución y explicación
Respuesta: Necesidad de analizar una indeterminación. La forma no determina el límite.
En l’Hôpital se deriva…
Solución y explicación
Respuesta: Numerador y denominador por separado. La regla compara un nuevo cociente de derivadas bajo hipótesis.
Un límite puede existir donde f no está definida…
Solución y explicación
Respuesta: Sí. El límite depende del entorno, no del valor puntual.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Condición para un límite bilateral?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Laterales existentes e iguales.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué elimina una racionalización?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
En muchos casos, una diferencia de raíces que produce indeterminación.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué unidad angular usan los límites trigonométricos notables?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Radianes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Puede aplicarse l’Hôpital directamente a ∞−∞?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: primero se transforma a un cociente adecuado y se revisan hipótesis.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Resuelve el límite de (eˣ−1−x)/x² con una interpretación de aproximación local y compara qué información aporta frente a la simplificación racional.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.