Operar con matrices y modelizar relaciones lineales respetando dimensiones y orden del producto.
Míralo en un dibujo
Una matriz A de tamaño 2×3 puede multiplicarse por una matriz B de tamaño 3×2. El resultado AB es 2×2. Para la entrada (1,1) se combinan la fila 1 de A y la columna 1 de B.
Antes de seguir: ¿Qué tamaños deben coincidir para poder multiplicar?
Comprueba tu razonamiento
El número de columnas de la primera matriz y el de filas de la segunda.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Sistemas lineales; Operaciones con signos; Vectores.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué indica m×n?
m filas y n columnas.
En un minuto
- m filas y n columnas.
- Fila de A por columna de B, sumando productos.
- Conserva la matriz en productos compatibles.
- Para conservar el significado y las unidades del modelo.
Entiende la idea
El concepto
Una matriz organiza números en filas y columnas. Su dimensión m×n indica primero filas y después columnas. Dos matrices pueden sumarse si tienen la misma dimensión; la suma y el producto por un escalar se realizan entrada a entrada. En este material escribimos [a,b;c,d] para una matriz de dos filas: el punto y coma separa filas.
El producto matricial no es una multiplicación entrada a entrada. Si A tiene dimensión m×n y B, n×p, el producto AB tiene dimensión m×p. Cada entrada se obtiene multiplicando una fila de A por una columna de B y sumando. Las dimensiones interiores deben coincidir y las exteriores determinan el resultado. El orden importa: AB puede diferir de BA o uno de los dos productos puede no estar definido.
Cómo utilizarlo sin errores
La matriz identidad I conserva matrices al multiplicar en dimensiones compatibles. La traspuesta intercambia filas y columnas y satisface (AB)ᵀ=BᵀAᵀ, con inversión del orden. Las potencias A², A³ requieren una matriz cuadrada y significan productos repetidos, no elevar cada entrada por separado.
En una aplicación, cada fila y columna debe tener significado. Una matriz de cantidades por producto multiplicada por un vector de precios produce costes, si se mantienen las unidades y la correspondencia de categorías. Escribir encabezados conceptuales antes de operar permite detectar una transposición accidental o una suma sin sentido. Las propiedades algebraicas son útiles, pero no autorizan cancelar matrices como si fueran números no nulos: una matriz no nula puede no tener inversa.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
(AB)ᵢⱼ=Σₖaᵢₖbₖⱼ. (AB)ᵀ=BᵀAᵀ. AI=IA=A. En general AB≠BA.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Con A=[1,2;3,4] y B=[2,0;−1,1], calcula AB y BA.
- AB se calcula fila por columna: [1·2+2(−1),1·0+2·1;3·2+4(−1),3·0+4·1]=[0,2;2,4].
- BA=[2·1+0·3,2·2+0·4;−1·1+1·3,−1·2+1·4]=[2,4;2,2].
- Los resultados son diferentes: no se puede intercambiar el orden.
Ejemplo 2 · Dos lotes usan cantidades Q=[2,3;4,1] de dos materiales, con precios p=[5;2]. Calcula el coste de cada lote.
- Q es 2×2 y p es 2×1, por lo que Qp es 2×1.
- Qp=[2·5+3·2;4·5+1·2]=[16;22].
- Las filas representan lotes y las columnas materiales; los resultados son costes 16 y 22 en la unidad monetaria indicada por los precios ficticios.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Si A es 2×3 y B es 3×4, ¿qué dimensión tiene AB? ¿Existe BA?
Primera ayuda
Compara dimensiones interiores en cada orden.
Ver solución razonada
AB existe y es 2×4. BA no está definido porque 4≠2.
Práctica 2 · Calcula A² para A=[1,1;0,1].
Primera ayuda
Multiplica la matriz por sí misma.
Ver solución razonada
A²=[1,2;0,1], no [1,1;0,1] por elevar entradas.
Práctica 3 · Traspon A=[1,2,3;4,5,6].
Primera ayuda
Las filas pasan a columnas.
Ver solución razonada
Aᵀ=[1,4;2,5;3,6], de dimensión 3×2.
El error que debes evitar
No multiplicar entrada a entrada cuando se pide producto matricial. No intercambiar AB y BA. No confundir matriz columna con matriz fila.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
El producto AB requiere…
Solución y explicación
Respuesta: Columnas de A igual a filas de B. La compatibilidad depende de dimensiones interiores.
(AB)ᵀ es…
Solución y explicación
Respuesta: BᵀAᵀ. Trasponer invierte el orden del producto.
Una matriz no nula…
Solución y explicación
Respuesta: Puede ser singular. La condición de inversibilidad es más fuerte que no ser cero.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué indica m×n?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
m filas y n columnas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se calcula una entrada de AB?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Fila de A por columna de B, sumando productos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hace la identidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Conserva la matriz en productos compatibles.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué etiquetar filas y columnas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Para conservar el significado y las unidades del modelo.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Inventa una matriz de consumo de tres recursos para dos actividades y comprueba qué dimensiones debe tener el vector de precios para obtener dos costes.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.