Escribir rectas y planos en el espacio y clasificar sus posiciones relativas.
Míralo en un dibujo
Se dibuja esquemáticamente un plano y una flecha normal. En Ax+By+Cz+D=0, un vector normal es (A,B,C), siempre que no sea el vector nulo.
Antes de seguir: ¿Un vector contenido en el plano es paralelo a su normal?
Comprueba tu razonamiento
No: es perpendicular a ella y su producto escalar con la normal vale cero.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Vectores; Sistemas lineales; Producto escalar.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué define una recta?
Un punto y un director no nulo.
En un minuto
- Un punto y un director no nulo.
- Un punto y un normal no nulo.
- Planos paralelos o coincidentes.
- Con el producto vectorial de sus normales no paralelas.
Entiende la idea
El concepto
Una recta del espacio queda determinada por un punto P y un vector director no nulo v. Su forma vectorial es r=P+tv, con t real, y de ella se obtienen tres ecuaciones paramétricas. La forma continua iguala cocientes solo para componentes directoras no nulas; una componente cero se expresa como coordenada constante, no dividiendo por cero.
Un plano puede definirse por un punto y un vector normal no nulo n, mediante n·(r−P)=0. También por un punto y dos vectores directores independientes. El producto vectorial de esos directores proporciona un normal. Tres puntos no alineados definen un plano; si son colineales, no determinan uno único.
Cómo utilizarlo sin errores
Para estudiar recta y plano se sustituye la recta en la ecuación del plano. Si el coeficiente de t es distinto de cero, existe una intersección única. Si ese coeficiente es cero, la recta es paralela al plano: puede estar contenida si el término restante también se anula, o no tener intersección si no lo hace.
Dos rectas espaciales pueden coincidir, ser paralelas distintas, cortarse o cruzarse sin ser coplanarias. Esta última posibilidad no existe en geometría plana. Se comparan directores y se resuelve la igualdad de puntos usando parámetros independientes. Dos planos con normales proporcionales son paralelos o coincidentes; con normales no proporcionales se cortan en una recta. La clasificación debe justificarse, no inferirse de un dibujo en perspectiva.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Recta: r=P+tv. Plano: n·(r−P)=0. Recta-plano: n·v≠0 → corte único. Dirección de intersección de planos: n₁×n₂.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Halla el plano que pasa por A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1).
- AB=(−1,1,0) y AC=(−1,0,1) son independientes. Su producto vectorial es (1,1,1).
- Con normal (1,1,1) y punto A: (x−1)+y+z=0.
- El plano es x+y+z=1 y los tres puntos lo satisfacen.
Ejemplo 2 · Interseca r=(1,0,2)+t(1,2,−1) con el plano x+y+z=6.
- Las componentes son x=1+t, y=2t, z=2−t.
- Sustituyendo: 3+2t=6, de donde t=3/2.
- El punto de corte es (5/2,3,1/2). La suma de sus coordenadas es 6, comprobación del resultado.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Clasifica r=(t,0,0) y s=(0,1,u), con t,u reales.
Primera ayuda
Compara directores e intenta igualar las coordenadas.
Ver solución razonada
Los directores (1,0,0) y (0,0,1) no son paralelos. No se cortan porque la coordenada y sería a la vez 0 y 1. Son rectas que se cruzan en el espacio, no paralelas.
Práctica 2 · Clasifica la recta (1,0,0)+t(1,−1,0) respecto a x+y+z=1.
Primera ayuda
Sustituye cualquier t.
Ver solución razonada
La suma es 1+t−t+0=1 para todo t. La recta está contenida en el plano.
Práctica 3 · Halla la intersección de los planos x+y=1 y z=2.
Primera ayuda
Elige una coordenada como parámetro.
Ver solución razonada
Tomando x=t, y=1−t y z=2: r=(0,1,2)+t(1,−1,0). Las normales (1,1,0) y (0,0,1) no son proporcionales.
El error que debes evitar
No dividir entre componentes directoras nulas. No usar el mismo parámetro para dos rectas sin justificación. No confundir no paralelas con secantes en el espacio.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Una componente directora cero…
Solución y explicación
Respuesta: Impone la coordenada constante correspondiente. La forma paramétrica evita una división no definida.
Dos rectas no paralelas en el espacio…
Solución y explicación
Respuesta: Pueden cruzarse sin cortarse. La geometría tridimensional admite rectas alabeadas.
Tres puntos definen un único plano si…
Solución y explicación
Respuesta: No están alineados. Se necesitan dos direcciones independientes.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué define una recta?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un punto y un director no nulo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué define un plano en forma normal?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un punto y un normal no nulo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué indican normales proporcionales?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Planos paralelos o coincidentes.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo hallar un director del corte de dos planos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Con el producto vectorial de sus normales no paralelas.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Comprueba mediante producto mixto que las rectas del primer ejercicio no son coplanarias y relaciona ese resultado con la clasificación obtenida por coordenadas.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.