Matemáticas II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Derivadas y aplicaciones
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Regla de la cadena y derivadas compuestas
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Ejercicio 1. Deriva f(x)=(x²+1)eˣ.
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Pista: Aplica producto, después simplifica.
Solución: f′=2xeˣ+(x²+1)eˣ=eˣ(x²+2x+1)=eˣ(x+1)².
Ejercicio 2. Deriva √(ln x) e indica dónde tiene esa derivada finita.
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Pista: Revisa primero ln x≥0 y luego el denominador de la derivada.
Solución: La función real tiene dominio x≥1. Para x>1, f′=1/(2x√(ln x)). En x=1 no tiene derivada finita ordinaria; la expresión no se extiende allí.
Ejercicio 3. En x²+y²=25, obtiene y′ donde y≠0 y calcula la pendiente en (3,4).
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Pista: Deriva y² como 2yy′.
Solución: 2x+2yy′=0, luego y′=−x/y. En (3,4), pendiente −3/4. La fórmula no da una pendiente finita en puntos con y=0.
Teoremas y estudio de funciones
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Ejercicio 4. Aplica el valor medio a ln x en [1,e] y encuentra c.
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Pista: La pendiente secante es 1/(e−1).
Solución: ln x es continua y derivable en el intervalo adecuado. 1/c=1/(e−1), luego c=e−1, que pertenece a (1,e).
Ejercicio 5. ¿x=0 es extremo de f(x)=x³? ¿Y punto de inflexión?
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Pista: Examina signos, no solo derivadas nulas.
Solución: f′=3x²≥0 y no cambia de signo al pasar por cero: no hay extremo. f″=6x sí cambia de signo: hay inflexión en (0,0).
Ejercicio 6. Encuentra máximo y mínimo absolutos de f(x)=x²−2x en [0,3].
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Pista: Compara el punto crítico x=1 con los extremos.
Solución: f(0)=0, f(1)=−1 y f(3)=3. Mínimo absoluto −1 en x=1 y máximo absoluto 3 en x=3.
Optimización con condiciones
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Ejercicio 7. Entre rectángulos de perímetro 20, encuentra el de área máxima.
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Pista: Expresa y=10−x.
Solución: A=x(10−x), con 0<x<10. A′=10−2x da x=5, y=5. Es un cuadrado de área 25, con derivada que cambia de + a −.
Ejercicio 8. Minimiza f(x)=x²+4/x para x>0.
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Pista: Deriva y verifica el cambio de signo.
Solución: f′=2x−4/x²=(2x³−4)/x². Se anula en x=∛2. Es negativa antes y positiva después, por lo que es mínimo global; f=3·2^(2/3).
Ejercicio 9. Un beneficio B(q)=−q²+9q−5 se define para q entero entre 0 y 8. Halla el máximo.
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Pista: El vértice continuo está en 4,5; compara enteros vecinos.
Solución: B(4)=15 y B(5)=15. Ambos maximizan en el dominio entero. Redondear sin comparar ocultaría que existen dos soluciones óptimas.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.