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Exámenes PAU

Matrices y determinantes

Tres ideas para ver el tema con claridad

Filas por columnas. Descripción en el texto contiguo.

Matrices: operaciones y modelización

Dos productos y una resta. Descripción en el texto contiguo.

Determinantes y propiedades

La inversa deshace la transformación. Descripción en el texto contiguo.

Rango e inversa de una matriz

Matemáticas II · Unidad 1

Las dimensiones controlan qué operaciones existen; el determinante solo se define para matrices cuadradas.

Lecciones del tema

Resumen y esquema de decisión

Las dimensiones controlan qué operaciones existen; el determinante solo se define para matrices cuadradas.

  1. Comprueba dimensiones antes de operar.
  2. Mantén el orden en los productos.
  3. Usa propiedades para simplificar determinantes sin cambiar su valor inadvertidamente.
  4. Busca inversa solo después de comprobar que el determinante no es cero.

01 · Matrices: operaciones y modelización

Operar con matrices y modelizar relaciones lineales respetando dimensiones y orden del producto.

  • m filas y n columnas.
  • Fila de A por columna de B, sumando productos.

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02 · Determinantes y propiedades

Calcular determinantes y utilizar sus propiedades sin confundirlos con matrices.

  • El factor de signo (−1)ⁱ⁺ʲ.
  • Producto de la diagonal principal.

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03 · Rango e inversa de una matriz

Calcular rango e inversas y distinguir singularidad de dependencia entre filas o columnas.

  • El máximo de filas o columnas independientes.
  • Rango completo e inversibilidad.

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Formulario del tema

Matrices: operaciones y modelización

( A B ) i j = ∑ k = 1 n a i k b k j
Matrices: operaciones y modelización · expresión 1
( m × n ) ( n × p ) ⟶ m × p
Matrices: operaciones y modelización · expresión 2
( A B ) T = B T A T
Matrices: operaciones y modelización · expresión 3

Determinantes y propiedades

det ( a b c d ) = a d − b c
Determinantes y propiedades · expresión 1
det ( A B ) = det A det B
Determinantes y propiedades · expresión 2
det ( k A ) = k n det A ( A  de orden  n )
Determinantes y propiedades · expresión 3

Rango e inversa de una matriz

A − 1 = 1 a d − b c ( d − b − c a ) ( a d − b c ≠ 0 )
Rango e inversa de una matriz · expresión 1
rg ( A ) = número de pivotes
Rango e inversa de una matriz · expresión 2

Refuerzo 1 · Recuperación activa

Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.

¿Cómo se calcula una entrada de AB?

Fila de A por columna de B, sumando productos.

¿Determinante de una triangular?

Producto de la diagonal principal.

¿Qué indica det(A)≠0 en una cuadrada?

Rango completo e inversibilidad.

Refuerzo 2 · Detecta el error

Una resolución afirma: En una matriz 3×3 se cumple det(2A)=2det(A).

Localiza el fallo, explica por qué no es válido y corrígelo antes de abrir la respuesta.

Contrastar mi corrección

Multiplicar toda la matriz por 2 multiplica cada una de las tres filas: det(2A)=2³det(A)=8det(A). Multiplicar solo una fila sí aporta un factor 2.

Refuerzo 3 · Reto de transferencia

Para A=[[1,2],[0,1]], calcula A² y A⁻¹. Comprueba el producto con la inversa.

Ver desarrollo y comprobación

A²=[[1,4],[0,1]]. Como det A=1, A⁻¹=[[1,−2],[0,1]]. AA⁻¹=[[1,0],[0,1]]. Elevar una matriz al cuadrado no consiste en elevar cada entrada.

Refuerzo 4 · Minitest mixto

Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.

El producto AB requiere…

  1. Igual número de filas
  2. Columnas de A igual a filas de B
  3. Matrices siempre cuadradas
Solución y explicación

Respuesta: Columnas de A igual a filas de B. La compatibilidad depende de dimensiones interiores.

Sumar a una fila un múltiplo de otra…

  1. No cambia el determinante
  2. Siempre lo duplica
  3. Lo hace cero siempre
Solución y explicación

Respuesta: No cambia el determinante. Es una operación elemental que conserva el determinante.

Determinante cero en orden tres implica…

  1. Rango exactamente dos
  2. Rango menor que tres
  3. Matriz siempre nula
Solución y explicación

Respuesta: Rango menor que tres. Se necesita más información para precisar el rango.

(AB)ᵀ es…

  1. BᵀAᵀ
  2. AᵀBᵀ siempre
  3. AB siempre
Solución y explicación

Respuesta: BᵀAᵀ. Trasponer invierte el orden del producto.

Sarrus se aplica directamente a…

  1. Cualquier orden
  2. Orden 3
  3. Solo matrices no cuadradas
Solución y explicación

Respuesta: Orden 3. No se generaliza dibujando más diagonales en orden 4.

Para XA=B, con A invertible, X es…

  1. A⁻¹B
  2. A⁻¹BA
  3. BA⁻¹
Solución y explicación

Respuesta: BA⁻¹. Se multiplica por A⁻¹ a la derecha.

Una matriz no nula…

  1. Siempre es invertible
  2. Siempre puede cancelarse
  3. Puede ser singular
Solución y explicación

Respuesta: Puede ser singular. La condición de inversibilidad es más fuerte que no ser cero.

Si det(A)=0, A cuadrada…

  1. Tiene inversa única
  2. Es siempre la matriz nula
  3. No es invertible
Solución y explicación

Respuesta: No es invertible. Puede ser no nula y singular.

La inversa debe comprobarse obteniendo…

  1. La identidad
  2. La matriz cero
  3. El determinante como matriz
Solución y explicación

Respuesta: La identidad. El producto de una matriz por su inversa es I.

Refuerzo 5 · Flashcards del tema

Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.

¿Qué indica m×n?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

m filas y n columnas.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo se calcula una entrada de AB?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Fila de A por columna de B, sumando productos.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué hace la identidad?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Conserva la matriz en productos compatibles.

Intenta responder antes de mirar.

¿Por qué etiquetar filas y columnas?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Para conservar el significado y las unidades del modelo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué distingue menor y cofactor?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

El factor de signo (−1)ⁱ⁺ʲ.

Intenta responder antes de mirar.

¿Determinante de una triangular?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Producto de la diagonal principal.

Intenta responder antes de mirar.

¿Efecto de intercambiar filas?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Cambia el signo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Efecto de multiplicar toda una n×n por k?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Multiplica el determinante por kⁿ.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué cuenta el rango?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

El máximo de filas o columnas independientes.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué indica det(A)≠0 en una cuadrada?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Rango completo e inversibilidad.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo usar Gauss–Jordan para la inversa?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Transformar [A|I] en [I|A⁻¹].

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué hacer antes de dividir por un parámetro?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Separar los valores que hacen cero el divisor.

Intenta responder antes de mirar.

Un plan de repaso adaptable

Hoy: haz el reto y registra el error. En 1 día: recupera las tarjetas difíciles. En 3 días: resuelve de nuevo sin mirar. En 7 días: mezcla este tema con otro. En 14 días: revisa lo que siga costando. Adelanta o retrasa sesiones según el examen y tu recuerdo real; estas fechas son una pauta, no una receta óptima universal.

Marca «lo recordaba» solo si pudiste responder antes de ver la solución. Estudiar no consiste en pasar tarjetas rápidamente.

Mi registro de errores

Se guarda solo en este navegador.

Fuentes y revisión editorial

Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.

Recursos para dominar este tema

Cuando termines las lecciones, utiliza estos cuatro recursos según lo que necesites: repasar, practicar, comprobarte o corregir errores.