Calcular áreas entre curvas dividiendo el intervalo en puntos de corte y cambios de posición relativa.
Míralo en un dibujo
Entre x=0 y x=1, la curva y=x está por encima de y=x². El área encerrada es ∫₀¹(x−x²)dx=1/6.
Antes de seguir: ¿Cómo eliges cuál función restar?
Comprueba tu razonamiento
Identifica cuál está arriba en cada tramo. Si cambian de orden, separa la integral por los puntos de corte.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Derivadas; Factorización; Interpretación gráfica.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Cómo hallar fronteras naturales entre curvas?
Resolviendo sus intersecciones y comprobando el dominio.
En un minuto
- Resolviendo sus intersecciones y comprobando el dominio.
- Función superior menos inferior.
- Evita cancelación de separaciones con signo.
- El producto de las unidades del integrando y de la variable.
Entiende la idea
El concepto
El área geométrica entre dos curvas se obtiene integrando su separación vertical no negativa. Si f está por encima de g en todo [a,b], el área es ∫ₐᵇ(f−g)dx. Si se cruzan, hay que localizar los cortes y dividir el intervalo, cambiando el orden de resta cuando corresponda. Una única integral con signo puede cancelar partes y dar un valor menor que el área total.
Los límites pueden venir dados por rectas verticales o por intersecciones de las propias curvas. Resolver f=g identifica candidatos a frontera, pero conviene comprobar si todos pertenecen al dominio y delimitan realmente la región solicitada. Un esquema ayuda a decidir qué función está arriba; una evaluación en un punto de cada subintervalo suele confirmar el signo.
Cómo utilizarlo sin errores
Cuando una curva cambia de signo respecto al eje horizontal, el eje es simplemente la función g=0. La fórmula general usa valor absoluto: área=∫|f−g|. Ese símbolo resume la necesidad de separar intervalos; no autoriza a tomar valor absoluto solo al final de una integral que ha sufrido cancelaciones internas.
El resultado debe expresarse en unidades cuadradas cuando las coordenadas tienen unidades de longitud compatibles. Si las funciones representan otras magnitudes, la integral sigue siendo acumulación con unidades producto, pero no necesariamente un área física en metros cuadrados. Revisar cortes, orden y unidades es tan importante como hallar la primitiva. El objetivo de esta lección es justificar la región, no limitarse a ejecutar una resta de extremos.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Área entre curvas=∫ₐᵇ|f(x)−g(x)|dx. En un tramo con f≥g: A=∫(f−g). Cortes: f(x)=g(x).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Calcula el área encerrada entre y=x e y=x².
- Los cortes cumplen x=x², es decir x=0 y x=1. En (0,1), x>x².
- A=∫₀¹(x−x²)dx=[x²/2−x³/3]₀¹.
- A=1/2−1/3=1/6 unidades cuadradas. No hace falta introducir otros límites arbitrarios.
Ejemplo 2 · Calcula el área entre y=x²−1 y el eje x en [−2,2].
- Los cambios de signo están en x=−1 y x=1. Por simetría, A=2[∫₀¹(1−x²)dx+∫₁²(x²−1)dx].
- El primer término vale 2/3 y el segundo 4/3.
- A=2(2/3+4/3)=4. La integral con signo de x²−1 en todo el intervalo vale 4/3 y no es el área total.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Halla el área entre y=4−x² y el eje x donde la parábola es no negativa.
Primera ayuda
Los cortes son −2 y 2.
Ver solución razonada
A=∫₋₂²(4−x²)dx=2[4x−x³/3]₀²=32/3.
Práctica 2 · Calcula el área entre y=2x e y=x² en [0,2].
Primera ayuda
Comprueba cuál está arriba dentro del intervalo.
Ver solución razonada
2x−x²=x(2−x)≥0. A=[x²−x³/3]₀²=4−8/3=4/3.
Práctica 3 · ¿Basta calcular |∫₋₁¹x dx| para el área entre y=x y el eje?
Primera ayuda
Examina la cancelación entre lados.
Ver solución razonada
No. Esa expresión vale 0. El área es ∫₋₁¹|x|dx=1, sumando dos triángulos o integrando por tramos.
El error que debes evitar
No tomar módulo solo al final si hubo cambios de signo. No usar todos los cortes sin identificar la región pedida. No confundir área entre curvas con suma de áreas respecto al eje.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Si las curvas intercambian cuál está arriba…
Solución y explicación
Respuesta: Se divide el intervalo. La separación debe mantenerse no negativa en cada tramo.
El área total puede ser negativa…
Solución y explicación
Respuesta: No. Es una magnitud geométrica no negativa.
|∫f| e ∫|f|…
Solución y explicación
Respuesta: Pueden diferir si hay cambios de signo. Tomar el módulo al final no recupera áreas canceladas.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Cómo hallar fronteras naturales entre curvas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Resolviendo sus intersecciones y comprobando el dominio.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué restar en cada tramo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Función superior menos inferior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hace el valor absoluto dentro de la integral?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Evita cancelación de separaciones con signo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué unidades tiene una integral?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El producto de las unidades del integrando y de la variable.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Explica con el segundo ejemplo por qué el área total es 4 mientras la acumulación con signo es 4/3, localizando qué zonas se restaron.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.