Aplicar probabilidad total y Bayes en particiones, interpretando la influencia de las probabilidades previas.
Míralo en un dibujo
En el árbol, P(A)=0,4, P(E|A)=0,75 y P(E)=0,45. Por tanto P(A|E)=0,30/0,45=2/3. Condicionar en E restringe los caminos posibles.
Antes de seguir: ¿Es igual P(E|A) que P(A|E)?
Comprueba tu razonamiento
No. En este ejemplo son 3/4 y 2/3: se está condicionando en sucesos diferentes.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Sucesos; Fracciones; Árboles.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué es una partición?
Grupos incompatibles que cubren el espacio muestral.
En un minuto
- Grupos incompatibles que cubren el espacio muestral.
- La probabilidad de un suceso sumando sus caminos por grupos.
- El sentido del condicionamiento.
- Porque pondera cuántos casos de cada grupo pueden generar la evidencia.
Entiende la idea
El concepto
Una partición del espacio muestral está formada por sucesos incompatibles cuya unión cubre todos los resultados. Si H₁,…,Hₙ forman una partición, cualquier suceso A puede descomponerse en caminos Hᵢ∩A. La probabilidad total suma P(Hᵢ)P(A|Hᵢ), ponderando cada probabilidad condicionada por la frecuencia de su grupo.
El teorema de Bayes invierte el condicionamiento: P(Hⱼ|A)=P(Hⱼ)P(A|Hⱼ)/P(A), siempre que P(A)>0. El numerador es la probabilidad del camino concreto y el denominador reúne todos los caminos que explican la evidencia A. Esta estructura es más fácil de recordar que una fórmula con letras no interpretadas.
Cómo utilizarlo sin errores
La probabilidad previa del grupo importa. Incluso una prueba o clasificador con buena capacidad de detección puede producir muchas señales falsas en comparación con verdaderas cuando la característica buscada es poco frecuente. No debe confundirse tasa de detección con probabilidad de pertenecer al grupo después de observar una señal.
Conviene representar el problema mediante un árbol o una población ficticia grande, lo que ayuda a separar los denominadores. Las probabilidades de los grupos posteriores a la evidencia deben sumar uno si forman una partición. Los ejemplos de esta lección son de control de calidad y datos inventados; sus cifras sirven para enseñar la lógica, no para describir sistemas reales ni ofrecer asesoramiento sobre decisiones de riesgo.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
P(A)=ΣᵢP(Hᵢ)P(A|Hᵢ). P(Hⱼ|A)=P(Hⱼ)P(A|Hⱼ)/ΣᵢP(Hᵢ)P(A|Hᵢ).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Un proveedor A aporta el 60 % de piezas con 2 % defectuosas; B aporta el 40 % con 5 % defectuosas. Calcula P(D) y P(B|D).
- P(D)=0,60·0,02+0,40·0,05=0,012+0,020=0,032.
- P(B|D)=0,020/0,032=0,625.
- Aunque B aporta menos piezas, entre las defectuosas representa el 62,5 % en este modelo. El 5 % era P(D|B), no P(B|D).
Ejemplo 2 · Un detector ficticio señala el 95 % de piezas defectuosas y el 5 % de las correctas. Hay 1 % defectuosas. Calcula P(D|señal).
- P(señal)=0,01·0,95+0,99·0,05=0,0095+0,0495=0,059.
- P(D|señal)=0,0095/0,059≈0,1610.
- La probabilidad posterior es aproximadamente 16,10 %, no 95 %. La baja frecuencia previa y las señales falsas explican la diferencia.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Dos grupos A y B pesan 0,3 y 0,7 y sus probabilidades de éxito son 0,8 y 0,4. Calcula éxito total y P(A|éxito).
Primera ayuda
Suma caminos y después divide el camino A por el total.
Ver solución razonada
P(E)=0,3·0,8+0,7·0,4=0,52. P(A|E)=0,24/0,52=6/13≈0,4615.
Práctica 2 · En el primer ejemplo, calcula P(A|no D).
Primera ayuda
Usa probabilidades de pieza correcta.
Ver solución razonada
P(no D)=0,968. El camino A y correcta vale 0,60·0,98=0,588. P(A|no D)=0,588/0,968≈0,6074.
Práctica 3 · ¿Qué ocurre en Bayes si P(A)=0 para la evidencia condicionante?
Primera ayuda
La definición de probabilidad condicionada tiene un denominador.
Ver solución razonada
La expresión elemental P(H|A)=P(H∩A)/P(A) no está definida. No se debe dividir por cero ni asignar un resultado arbitrario.
El error que debes evitar
No promediar tasas sin ponderación. No invertir porcentajes de detección. No olvidar el camino de falsa señal del grupo contrario.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
En probabilidad total los grupos deben…
Solución y explicación
Respuesta: Formar una partición. Así los caminos son incompatibles y cubren el suceso.
El denominador de Bayes es…
Solución y explicación
Respuesta: La probabilidad total de la evidencia. Incluye todos los caminos compatibles con lo observado.
Una detección del 95 % significa automáticamente posterior 95 %…
Solución y explicación
Respuesta: No. También importan la prevalencia previa y las señales falsas.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué es una partición?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Grupos incompatibles que cubren el espacio muestral.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué calcula probabilidad total?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La probabilidad de un suceso sumando sus caminos por grupos.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué invierte Bayes?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El sentido del condicionamiento.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué importa la frecuencia previa?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Porque pondera cuántos casos de cada grupo pueden generar la evidencia.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Rehaz el segundo ejemplo con 10000 piezas ficticias, contando verdaderas y falsas señales, y comprueba que la fracción final coincide con Bayes.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.