Matemáticas II · 2.º Bachillerato · PAU · Derivadas y aplicaciones
Resumen y formulario: Derivadas y aplicaciones
Esta página concentra el tema para un repaso rápido. Úsala después de comprender las lecciones: intenta reconstruir cada idea sin mirar y abre la explicación completa cuando detectes una laguna.
La idea que conecta el tema
El estudio de funciones une cálculo y justificación: una derivada correcta es solo un paso.
Qué debes ser capaz de hacer
- Derivar composiciones, productos y cocientes, indicando el dominio de la función y de su derivada.
- Utilizar Rolle y el valor medio y estudiar crecimiento, extremos y curvatura con cambios de signo.
- Formular problemas de optimización, delimitar el dominio y justificar extremos absolutos.
Mapa de lecciones
- Regla de la cadena y derivadas compuestas
- Teoremas y estudio de funciones
- Optimización con condiciones
Formulario esencial
Regla de la cadena y derivadas compuestas: (f∘g)′=(f′∘g)g′. (uv)′=u′v+uv′. (u/v)′=(u′v−uv′)/v². (lnu)′=u′/u. (eᵘ)′=eᵘu′.
Teoremas y estudio de funciones: Rolle: f(a)=f(b) → ∃c con f′(c)=0 bajo hipótesis. Valor medio: f′(c)=(f(b)−f(a))/(b−a). Extremos locales: cambio de signo de f′.
Optimización con condiciones: Optimización: restricciones → función de una variable → dominio → candidatos → comparación → interpretación. Un punto crítico fuera del dominio se descarta.
Cómo decidir el procedimiento
- Descompón funciones compuestas desde fuera hacia dentro.
- Calcula candidatos y puntos donde la derivada no existe.
- Haz tabla de signos en el dominio.
- Para extremos absolutos compara también fronteras y comportamiento límite.
Preguntas rápidas de recuperación
- Separar función exterior e interior.
- aᵘ ln(a)u′.
- Continuidad cerrada, derivabilidad interior e igualdad de extremos.
- Una tangente paralela a la secante en algún punto interior.
- Definir objetivo, variables y restricciones.
- Fronteras, puntos no derivables y admisibilidad.