Derivadas y aplicaciones

Matemáticas II · Unidad 4

El estudio de funciones une cálculo y justificación: una derivada correcta es solo un paso.

Lecciones del tema

Resumen y esquema de decisión

Formulario del tema

Regla de la cadena y derivadas compuestas

$$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$$

$$(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$$

$$(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}(u>0)$$

Teoremas y estudio de funciones

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{teorema del valor medio, bajo sus hipótesis}$$

$$f^{\prime }(x)>0\Rightarrow \text{crecimiento en el intervalo}$$

Optimización con condiciones

$$F^{\prime }(x)=0\text{candidatos interiores derivables}$$

$$\underset{x\in [a,b]}{max}F(x)\text{requiere comparar candidatos y extremos si }F\text{ es continua}$$

Refuerzo 1 · Recuperación activa

Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.

¿Derivada de aᵘ con a>0 constante?

aᵘ ln(a)u′.

¿Qué representa el valor medio?

Una tangente paralela a la secante en algún punto interior.

¿Qué revisar además de f′=0?

Fronteras, puntos no derivables y admisibilidad.

Refuerzo 2 · Detecta el error

Refuerzo 3 · Reto de transferencia

Refuerzo 4 · Minitest mixto

Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.

La derivada de e^(3x²) es…

1. e^(3x²)
2. 6xe^(3x²)
3. 3e^(3x²)

Solución y explicación

Respuesta: 6xe^(3x²). La cadena añade la derivada 6x del exponente.

f′(a)=0 garantiza un extremo…

1. Siempre
2. No
3. Solo si a=0

Solución y explicación

Respuesta: No. Debe analizarse el comportamiento alrededor del punto.

El dominio en optimización se obtiene…

1. Solo de la derivada
2. De la fórmula y de las restricciones
3. Siempre como todos los reales

Solución y explicación

Respuesta: De la fórmula y de las restricciones. La interpretación puede limitar más que el dominio algebraico.

(uv)′ vale…

1. u′v+uv′
2. u′v′
3. u+v

Solución y explicación

Respuesta: u′v+uv′. Se deriva un factor cada vez y se suman contribuciones.

f″(a)=0 garantiza inflexión…

1. Siempre
2. Solo en polinomios
3. No sin cambio de curvatura

Solución y explicación

Respuesta: No sin cambio de curvatura. Por ejemplo x⁴ tiene f″(0)=0 sin cambio de signo.

Un punto crítico fuera del dominio físico…

1. Se descarta como solución admisible
2. Se redondea al azar
3. Es siempre el máximo

Solución y explicación

Respuesta: Se descarta como solución admisible. La optimización solo considera configuraciones permitidas.

Una fórmula simplificada de f′…

1. Puede ignorar el dominio original
2. Hace derivable cualquier extremo
3. Debe conservar las restricciones pertinentes

Solución y explicación

Respuesta: Debe conservar las restricciones pertinentes. La simplificación no crea valores o derivadas inexistentes de f.

Para extremos absolutos en [a,b] hay que revisar…

1. También los extremos del intervalo
2. Solo f′=0
3. Solo asíntotas

Solución y explicación

Respuesta: También los extremos del intervalo. El máximo o mínimo puede alcanzarse en la frontera.

Una respuesta completa debe incluir…

1. Solo f′
2. Solo una raíz
3. Configuración, valor y justificación

Solución y explicación

Respuesta: Configuración, valor y justificación. Hay que responder a lo que realmente pide el problema.

Refuerzo 5 · Flashcards del tema

Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.

¿Primer paso para la cadena?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Separar función exterior e interior.

Intenta responder antes de mirar.

¿Derivada de aᵘ con a>0 constante?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

aᵘ ln(a)u′.

Intenta responder antes de mirar.

¿Por qué xˣ no es una potencia de exponente constante?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Porque base y exponente dependen de x.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué aparece al derivar y² implícitamente?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

2yy′.

Intenta responder antes de mirar.

¿Hipótesis esenciales de Rolle?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Continuidad cerrada, derivabilidad interior e igualdad de extremos.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué representa el valor medio?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Una tangente paralela a la secante en algún punto interior.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué confirma un máximo local simple por signos?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Cambio de f′ de positivo a negativo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué confirma una inflexión?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Cambio de curvatura, no solo anulación de f″.

Intenta responder antes de mirar.

¿Primer paso de optimización?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Definir objetivo, variables y restricciones.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué revisar además de f′=0?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Fronteras, puntos no derivables y admisibilidad.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué cambia si las cantidades son enteras?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Deben compararse opciones enteras, no aceptar automáticamente el óptimo continuo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo distinguir máximo local y global?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Comparando con todo el dominio o justificando monotonía y límites.

Intenta responder antes de mirar.

Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior

Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.

Mi registro de errores

Qué falló y cómo lo corregiréGuardar mi nota

Se guarda solo en este navegador.

Fuentes y revisión editorial

Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.

• Real Decreto 243/2022, texto consolidado: enseñanzas mínimas de Bachillerato
• Orden de 30 de mayo de 2023: currículo de Bachillerato en Andalucía