Integrales para PAU

Matemáticas II · PAU · GUÍA POR TEMA

Integrales para PAU: qué dominar y cómo practicar

Esta guía utiliza el contenido del curso para preparar el bloque de forma activa. No asigna una frecuencia histórica inventada ni promete que aparezca una pregunta concreta: la convocatoria oficial es la referencia final.

Competencias que deberías demostrar

• Reconocer primitivas y aplicar sustitución, integración por partes y descomposición racional sencilla.
• Calcular integrales definidas y aplicar el teorema fundamental del cálculo sin ignorar discontinuidades.
• Calcular áreas entre curvas dividiendo el intervalo en puntos de corte y cambios de posición relativa.

Checklist de repaso

• Primitivas y técnicas básicas — Reconocer primitivas y aplicar sustitución, integración por partes y descomposición racional sencilla.
• Integral definida y regla de Barrow — Calcular integrales definidas y aplicar el teorema fundamental del cálculo sin ignorar discontinuidades.
• Áreas entre curvas — Calcular áreas entre curvas dividiendo el intervalo en puntos de corte y cambios de posición relativa.

Problemas representativos del tema

Problema 1. Calcula ∫(3x²−2x+4) dx.

Abrir pista y solución

Pista: Integra término a término.

Solución razonada: x³−x²+4x+C. Su derivada devuelve los tres términos.

Problema 2. Calcula ∫ln x dx para x>0.

Abrir pista y solución

Pista: Por partes, u=ln x y dv=dx.

Solución razonada: u′=1/x y v=x. La integral es xln x−∫1 dx=xln x−x+C.

Problema 3. Calcula ∫₋₁¹x³ dx y explica su relación con áreas.

Abrir pista y solución

Pista: Usa imparidad o una primitiva.

Solución razonada: La integral es 0 por cancelación de contribuciones opuestas. El área geométrica total es 2∫₀¹x³dx=1/2, no cero.

Problema 4. Si ∫₀³f=7 y ∫₀¹f=2, calcula ∫₁³f y ∫₃¹f.

Abrir pista y solución

Pista: Usa aditividad y cambio de orientación.

Solución razonada: ∫₁³f=7−2=5 y ∫₃¹f=−5.

Problema 5. Halla el área entre y=4−x² y el eje x donde la parábola es no negativa.

Abrir pista y solución

Pista: Los cortes son −2 y 2.

Solución razonada: A=∫₋₂²(4−x²)dx=2[4x−x³/3]₀²=32/3.

Problema 6. Calcula el área entre y=2x e y=x² en [0,2].

Abrir pista y solución

Pista: Comprueba cuál está arriba dentro del intervalo.

Solución razonada: 2x−x²=x(2−x)≥0. A=[x²−x³/3]₀²=4−8/3=4/3.

Errores que debes vigilar

• No olvidar +C en integrales indefinidas. No usar la regla de potencia con n=−1. No eliminar valores absolutos del logaritmo sin justificar el signo.
• No confundir integral con área absoluta. No añadir C al número final. No cruzar una asíntota interior aplicando una fórmula formal.
• No tomar módulo solo al final si hubo cambios de signo. No usar todos los cortes sin identificar la región pedida. No confundir área entre curvas con suma de áreas respecto al eje.

Simulación y corrección

1. Haz una primera vuelta resolviendo lo seguro y señalando las preguntas que requieren más tiempo.
2. Escribe operaciones, unidades, hipótesis y justificaciones con claridad: una respuesta correcta sin razonamiento puede no demostrar todo el proceso.
3. Corrige con criterios oficiales cuando trabajes un examen real de tu comunidad; no uses esta página como baremo oficial.
4. Después vuelve al resumen del tema, los ejercicios, el test y los errores frecuentes.

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Entrenamiento de tiempo: cuando pases de práctica temática a un examen completo, utiliza como referencia los 90 minutos establecidos actualmente para cada ejercicio PAU y sigue las instrucciones concretas de tu comunidad.