Matemáticas II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Integrales
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Primitivas y técnicas básicas
Explicación completa: abrir la lección
Ejercicio 1. Calcula ∫(3x²−2x+4) dx.
Mostrar pista y solución
Pista: Integra término a término.
Solución: x³−x²+4x+C. Su derivada devuelve los tres términos.
Ejercicio 2. Calcula ∫ln x dx para x>0.
Mostrar pista y solución
Pista: Por partes, u=ln x y dv=dx.
Solución: u′=1/x y v=x. La integral es xln x−∫1 dx=xln x−x+C.
Ejercicio 3. Calcula ∫3cos(3x) dx y ∫1/(1+x²) dx.
Mostrar pista y solución
Pista: Reconoce derivadas elementales.
Solución: La primera es sen(3x)+C; la segunda arctan x+C. El factor 3 de la primera coincide con la derivada del argumento.
Integral definida y regla de Barrow
Explicación completa: abrir la lección
Ejercicio 4. Calcula ∫₋₁¹x³ dx y explica su relación con áreas.
Mostrar pista y solución
Pista: Usa imparidad o una primitiva.
Solución: La integral es 0 por cancelación de contribuciones opuestas. El área geométrica total es 2∫₀¹x³dx=1/2, no cero.
Ejercicio 5. Si ∫₀³f=7 y ∫₀¹f=2, calcula ∫₁³f y ∫₃¹f.
Mostrar pista y solución
Pista: Usa aditividad y cambio de orientación.
Solución: ∫₁³f=7−2=5 y ∫₃¹f=−5.
Ejercicio 6. ¿Es válido afirmar ∫₋₁¹1/x dx=ln|1|−ln|−1|=0?
Mostrar pista y solución
Pista: Comprueba la singularidad interior.
Solución: No. La función tiene una singularidad en cero y las integrales impropias laterales no convergen. Una cancelación simétrica especial no equivale a la integral impropia ordinaria ni justifica Barrow aquí.
Áreas entre curvas
Explicación completa: abrir la lección
Ejercicio 7. Halla el área entre y=4−x² y el eje x donde la parábola es no negativa.
Mostrar pista y solución
Pista: Los cortes son −2 y 2.
Solución: A=∫₋₂²(4−x²)dx=2[4x−x³/3]₀²=32/3.
Ejercicio 8. Calcula el área entre y=2x e y=x² en [0,2].
Mostrar pista y solución
Pista: Comprueba cuál está arriba dentro del intervalo.
Solución: 2x−x²=x(2−x)≥0. A=[x²−x³/3]₀²=4−8/3=4/3.
Ejercicio 9. ¿Basta calcular |∫₋₁¹x dx| para el área entre y=x y el eje?
Mostrar pista y solución
Pista: Examina la cancelación entre lados.
Solución: No. Esa expresión vale 0. El área es ∫₋₁¹|x|dx=1, sumando dos triángulos o integrando por tramos.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.