Matemáticas II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Sistemas lineales
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Gauss y resolución de sistemas
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Ejercicio 1. Discute x+y=1; 2x+2y=3.
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Pista: Resta dos veces la primera de la segunda.
Solución: Se obtiene 0=1. Es incompatible y no tiene solución.
Ejercicio 2. Resuelve 2x+y=5; x−y=1.
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Pista: Suma ecuaciones para eliminar y.
Solución: 3x=6, x=2; y=x−1=1. La solución es única.
Ejercicio 3. Expresa todas las soluciones de x+2y−z=0.
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Pista: Elige dos variables libres.
Solución: Tomando y=s y z=t, queda x=−2s+t. Soluciones (−2s+t,s,t), con s,t reales.
Rouché–Frobenius y discusión
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Ejercicio 4. Una matriz A de 3 incógnitas tiene rango 2 y su ampliada rango 3. Clasifica.
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Pista: Compara existencia antes de contar parámetros.
Solución: Es incompatible. No tiene sentido decir que hay un parámetro libre, porque los rangos no coinciden.
Ejercicio 5. Un sistema tiene 5 ecuaciones, 3 incógnitas y ambos rangos 3. Clasifica.
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Pista: El número de incógnitas determina la unicidad.
Solución: Es compatible determinado: solución única. Algunas ecuaciones pueden ser redundantes.
Ejercicio 6. Para Ax=0 con A cuadrada y det(A)≠0, ¿qué solución existe?
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Pista: A es invertible.
Solución: Solo x=0. Multiplicando por A⁻¹ se obtiene directamente la solución trivial.
Sistemas con parámetros y aplicaciones
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Ejercicio 7. En x+y=2 y x+ay=3, resuelve para a≠1 y discute a=1.
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Pista: Resta ecuaciones.
Solución: (a−1)y=1, y=1/(a−1), x=(2a−3)/(a−1). Para a=1 se exigiría simultáneamente x+y=2 y 3: incompatible.
Ejercicio 8. En el primer ejemplo, ¿para qué valores de a son x,y,z todos no negativos?
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Pista: Las condiciones de y y z obligan primero al signo del denominador.
Solución: y,z≥0 requieren a>1. Entonces x=(a−4)/(a−1)≥0 exige a≥4. Por tanto, los tres son no negativos exactamente para a≥4.
Ejercicio 9. Con 10 objetos de precios 3 y 5, ¿puede lograrse un total de 41 usando cantidades enteras?
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Pista: Resuelve x+y=10 y 3x+5y=41.
Solución: Se obtiene 2y=11, y=5,5 y x=4,5. Hay solución real única, pero no cantidades enteras: no es factible para objetos indivisibles.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.