Sistemas lineales para PAU

Matemáticas II · PAU · GUÍA POR TEMA

Sistemas lineales para PAU: qué dominar y cómo practicar

Esta guía utiliza el contenido del curso para preparar el bloque de forma activa. No asigna una frecuencia histórica inventada ni promete que aparezca una pregunta concreta: la convocatoria oficial es la referencia final.

Competencias que deberías demostrar

• Resolver sistemas por eliminación de Gauss y expresar soluciones únicas, infinitas o inexistentes.
• Aplicar Rouché–Frobenius comparando rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada.
• Discutir sistemas con parámetros sin perder casos y traducir restricciones de una aplicación.

Checklist de repaso

• Gauss y resolución de sistemas — Resolver sistemas por eliminación de Gauss y expresar soluciones únicas, infinitas o inexistentes.
• Rouché–Frobenius y discusión — Aplicar Rouché–Frobenius comparando rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada.
• Sistemas con parámetros y aplicaciones — Discutir sistemas con parámetros sin perder casos y traducir restricciones de una aplicación.

Problemas representativos del tema

Problema 1. Discute x+y=1; 2x+2y=3.

Abrir pista y solución

Pista: Resta dos veces la primera de la segunda.

Solución razonada: Se obtiene 0=1. Es incompatible y no tiene solución.

Problema 2. Resuelve 2x+y=5; x−y=1.

Abrir pista y solución

Pista: Suma ecuaciones para eliminar y.

Solución razonada: 3x=6, x=2; y=x−1=1. La solución es única.

Problema 3. Una matriz A de 3 incógnitas tiene rango 2 y su ampliada rango 3. Clasifica.

Abrir pista y solución

Pista: Compara existencia antes de contar parámetros.

Solución razonada: Es incompatible. No tiene sentido decir que hay un parámetro libre, porque los rangos no coinciden.

Problema 4. Un sistema tiene 5 ecuaciones, 3 incógnitas y ambos rangos 3. Clasifica.

Abrir pista y solución

Pista: El número de incógnitas determina la unicidad.

Solución razonada: Es compatible determinado: solución única. Algunas ecuaciones pueden ser redundantes.

Problema 5. En x+y=2 y x+ay=3, resuelve para a≠1 y discute a=1.

Abrir pista y solución

Pista: Resta ecuaciones.

Solución razonada: (a−1)y=1, y=1/(a−1), x=(2a−3)/(a−1). Para a=1 se exigiría simultáneamente x+y=2 y 3: incompatible.

Problema 6. En el primer ejemplo, ¿para qué valores de a son x,y,z todos no negativos?

Abrir pista y solución

Pista: Las condiciones de y y z obligan primero al signo del denominador.

Solución razonada: y,z≥0 requieren a>1. Entonces x=(a−4)/(a−1)≥0 exige a≥4. Por tanto, los tres son no negativos exactamente para a≥4.

Errores que debes vigilar

• No operar coeficientes olvidando la columna ampliada. No confundir fila nula con contradicción. No presentar un único punto como todas las soluciones de un sistema indeterminado.
• No contar parámetros antes de verificar compatibilidad. No sustituir rango por número de ecuaciones. No dejar sin resolver los casos de determinante cero.
• No omitir los parámetros excluidos. No confundir solución única con solución contextualmente válida. No redondear una solución de conteo para simular factibilidad.

Simulación y corrección

1. Haz una primera vuelta resolviendo lo seguro y señalando las preguntas que requieren más tiempo.
2. Escribe operaciones, unidades, hipótesis y justificaciones con claridad: una respuesta correcta sin razonamiento puede no demostrar todo el proceso.
3. Corrige con criterios oficiales cuando trabajes un examen real de tu comunidad; no uses esta página como baremo oficial.
4. Después vuelve al resumen del tema, los ejercicios, el test y los errores frecuentes.

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Entrenamiento de tiempo: cuando pases de práctica temática a un examen completo, utiliza como referencia los 90 minutos establecidos actualmente para cada ejercicio PAU y sigue las instrucciones concretas de tu comunidad.