Matemáticas II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Probabilidad
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Probabilidad condicionada y árboles
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Ejercicio 1. Si P(A)=0,4 y P(B|A)=0,3, calcula P(A∩B).
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Pista: Aplica el producto con el condicionamiento dado.
Solución: P(A∩B)=0,4·0,3=0,12. No basta esa información para calcular P(A|B) sin P(B).
Ejercicio 2. En un grupo de 80, 20 pertenecen a A y B y 50 pertenecen a B. Calcula P(A|B).
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Pista: El denominador es el tamaño de B.
Solución: P(A|B)=20/50=0,4, no 20/80.
Ejercicio 3. Repite la probabilidad de dos rojas de la urna con reemplazamiento y mezcla ideal.
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Pista: La proporción vuelve a ser 4/10 en cada etapa.
Solución: P(RR)=(4/10)²=0,16=4/25. Difiere de 2/15 sin reemplazamiento.
Probabilidad total y Bayes
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Ejercicio 4. Dos grupos A y B pesan 0,3 y 0,7 y sus probabilidades de éxito son 0,8 y 0,4. Calcula éxito total y P(A|éxito).
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Pista: Suma caminos y después divide el camino A por el total.
Solución: P(E)=0,3·0,8+0,7·0,4=0,52. P(A|E)=0,24/0,52=6/13≈0,4615.
Ejercicio 5. En el primer ejemplo, calcula P(A|no D).
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Pista: Usa probabilidades de pieza correcta.
Solución: P(no D)=0,968. El camino A y correcta vale 0,60·0,98=0,588. P(A|no D)=0,588/0,968≈0,6074.
Ejercicio 6. ¿Qué ocurre en Bayes si P(A)=0 para la evidencia condicionante?
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Pista: La definición de probabilidad condicionada tiene un denominador.
Solución: La expresión elemental P(H|A)=P(H∩A)/P(A) no está definida. No se debe dividir por cero ni asignar un resultado arbitrario.
Independencia y sucesos compuestos
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Ejercicio 7. A y B son incompatibles con probabilidades 0,2 y 0,5. ¿Son independientes? Calcula su unión.
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Pista: Compara intersección con producto.
Solución: P(A∩B)=0 pero P(A)P(B)=0,10, por lo que no son independientes. P(A∪B)=0,70.
Ejercicio 8. Tres intentos independientes tienen p=0,2 de éxito cada uno. Calcula al menos uno.
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Pista: Usa ningún éxito como contrario.
Solución: P(al menos uno)=1−0,8³=0,488.
Ejercicio 9. Con P(A)=0,6, P(B)=0,5 y P(A∩B)=0,3, comprueba independencia y calcula ninguno.
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Pista: Compara 0,3 con 0,6·0,5.
Solución: Son independientes según esos datos. P(unión)=0,6+0,5−0,3=0,8, luego P(ninguno)=0,2.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.