Matemáticas II · 2.º Bachillerato · PAU · Sistemas lineales
Resumen y formulario: Sistemas lineales
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La idea que conecta el tema
Una discusión con parámetros exige separar los valores que cambian el rango.
Qué debes ser capaz de hacer
- Resolver sistemas por eliminación de Gauss y expresar soluciones únicas, infinitas o inexistentes.
- Aplicar Rouché–Frobenius comparando rangos de la matriz de coeficientes y la ampliada.
- Discutir sistemas con parámetros sin perder casos y traducir restricciones de una aplicación.
Mapa de lecciones
Formulario esencial
Gauss y resolución de sistemas: Ax=b ↔ matriz ampliada [A|b]. Fila [0,…,0|c], c≠0: contradicción. Variables libres=incógnitas−pivotes si el sistema es compatible.
Rouché–Frobenius y discusión: rango(A)=rango([A|b]) → compatible. Rango común=n → única. Rango común<n → infinitas. Rangos distintos → incompatible.
Sistemas con parámetros y aplicaciones: Plan: det(A(a)) → valores singulares → casos → rangos → solución → restricciones contextuales. Nunca dividir por a−a₀ sin separar a=a₀.
Cómo decidir el procedimiento
- Trabaja con matriz de coeficientes y ampliada.
- Identifica valores excepcionales antes de dividir por expresiones paramétricas.
- Para cada caso compara rangos.
- Expresa soluciones libres cuando proceda y comprueba.
Preguntas rápidas de recuperación
- Operaciones elementales equivalentes sobre ecuaciones completas.
- El término independiente de cada fila.
- Rangos de coeficientes y ampliada.
- Rangos iguales al número de incógnitas.
- No: el parámetro identifica un sistema dentro de una familia.
- Sustituirlos y estudiar rangos o ecuaciones sin divisiones inválidas.