Tres ideas para ver el tema con claridad
Matemáticas II · Unidad 5
Una integral definida acumula con signo; el área geométrica suma magnitudes positivas.
Lecciones del tema
Resumen y esquema de decisión
Una integral definida acumula con signo; el área geométrica suma magnitudes positivas.
- Decide si buscas una primitiva, acumulación o área.
- Elige técnica y comprueba derivando.
- Localiza cortes y cambios de signo antes de integrar un área.
- Conserva límites, constantes y unidades.
01 · Primitivas y técnicas básicas
Reconocer primitivas y aplicar sustitución, integración por partes y descomposición racional sencilla.
- Todas las funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada en un intervalo.
- Cuando aparece una composición acompañada de la derivada interior.
02 · Integral definida y regla de Barrow
Calcular integrales definidas y aplicar el teorema fundamental del cálculo sin ignorar discontinuidades.
- La integral es la diferencia de valores de una primitiva válida.
- Cambia el signo.
03 · Áreas entre curvas
Calcular áreas entre curvas dividiendo el intervalo en puntos de corte y cambios de posición relativa.
- Resolviendo sus intersecciones y comprobando el dominio.
- Función superior menos inferior.
Formulario del tema
Primitivas y técnicas básicas
Integral definida y regla de Barrow
Áreas entre curvas
Refuerzo 1 · Recuperación activa
Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.
¿Cuándo suele ayudar sustitución?
Cuando aparece una composición acompañada de la derivada interior.
¿Qué hace invertir límites?
Cambia el signo.
¿Qué restar en cada tramo?
Función superior menos inferior.
Refuerzo 2 · Detecta el error
Una resolución afirma: El área entre y=x y el eje x desde −1 hasta 1 es cero porque la integral lo es.
Localiza el fallo, explica por qué no es válido y corrígelo antes de abrir la respuesta.
Contrastar mi corrección
La integral con signo se cancela, pero el área vale ∫₋₁⁰(−x)dx+∫₀¹x dx=1. Área y acumulación neta no son lo mismo.
Refuerzo 3 · Reto de transferencia
Calcula el área entre y=x y y=x² en [0,1].
Ver desarrollo y comprobación
En ese intervalo x≥x². A=∫₀¹(x−x²)dx=[x²/2−x³/3]₀¹=1/6. Las curvas se cortan en 0 y 1, de modo que no hay que dividir más tramos.
Refuerzo 4 · Minitest mixto
Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.
La primitiva de 1/x es…
Solución y explicación
Respuesta: ln|x|+C en intervalos sin cero. El exponente −1 es el caso logarítmico especial.
Una integral definida puede ser negativa…
Solución y explicación
Respuesta: Sí. Mide acumulación con signo.
Si las curvas intercambian cuál está arriba…
Solución y explicación
Respuesta: Se divide el intervalo. La separación debe mantenerse no negativa en cada tramo.
La comprobación de una primitiva consiste en…
Solución y explicación
Respuesta: Derivarla. La derivada debe coincidir con el integrando en su dominio.
En el resultado numérico de Barrow…
Solución y explicación
Respuesta: No se añade +C. La constante se cancela al restar extremos.
El área total puede ser negativa…
Solución y explicación
Respuesta: No. Es una magnitud geométrica no negativa.
En una sustitución se debe…
Solución y explicación
Respuesta: Transformar coherentemente integrando y diferencial. La relación du=g′(x)dx es parte del cambio de variable.
Antes de integrar sobre una singularidad…
Solución y explicación
Respuesta: Se estudia la convergencia apropiada. La primitiva no permite cruzar cualquier discontinuidad sin análisis.
|∫f| e ∫|f|…
Solución y explicación
Respuesta: Pueden diferir si hay cambios de signo. Tomar el módulo al final no recupera áreas canceladas.
Refuerzo 5 · Flashcards del tema
Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.
¿Por qué aparece +C?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Todas las funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada en un intervalo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cuándo suele ayudar sustitución?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cuando aparece una composición acompañada de la derivada interior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Fórmula de integración por partes?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
∫u dv=uv−∫v du.
Intenta responder antes de mirar.
¿Primitiva de 1/(1+x²)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
arctan x+C.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué dice Barrow?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La integral es la diferencia de valores de una primitiva válida.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hace invertir límites?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cambia el signo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Integral cero implica función cero?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: puede haber cancelación.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué añade un extremo superior g(x)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un factor g′(x) por la regla de la cadena.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo hallar fronteras naturales entre curvas?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Resolviendo sus intersecciones y comprobando el dominio.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué restar en cada tramo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Función superior menos inferior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hace el valor absoluto dentro de la integral?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Evita cancelación de separaciones con signo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué unidades tiene una integral?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El producto de las unidades del integrando y de la variable.
Intenta responder antes de mirar.
Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior
Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.
En x²+y²=25, obtiene y′ donde y≠0 y calcula la pendiente en (3,4).
Comparar mi solución
2x+2yy′=0, luego y′=−x/y. En (3,4), pendiente −3/4. La fórmula no da una pendiente finita en puntos con y=0.
Un beneficio B(q)=−q²+9q−5 se define para q entero entre 0 y 8. Halla el máximo.
Comparar mi solución
B(4)=15 y B(5)=15. Ambos maximizan en el dominio entero. Redondear sin comparar ocultaría que existen dos soluciones óptimas.
Un plan de repaso adaptable
Hoy: haz el reto y registra el error. En 1 día: recupera las tarjetas difíciles. En 3 días: resuelve de nuevo sin mirar. En 7 días: mezcla este tema con otro. En 14 días: revisa lo que siga costando. Adelanta o retrasa sesiones según el examen y tu recuerdo real; estas fechas son una pauta, no una receta óptima universal.
Marca «lo recordaba» solo si pudiste responder antes de ver la solución. Estudiar no consiste en pasar tarjetas rápidamente.
Mi registro de errores
Se guarda solo en este navegador.
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.
Recursos para dominar este tema
Cuando termines las lecciones, utiliza estos cuatro recursos según lo que necesites: repasar, practicar, comprobarte o corregir errores.