Matrices y determinantes para PAU

Matemáticas II · PAU · GUÍA POR TEMA

Matrices y determinantes para PAU: qué dominar y cómo practicar

Esta guía utiliza el contenido del curso para preparar el bloque de forma activa. No asigna una frecuencia histórica inventada ni promete que aparezca una pregunta concreta: la convocatoria oficial es la referencia final.

Competencias que deberías demostrar

• Operar con matrices y modelizar relaciones lineales respetando dimensiones y orden del producto.
• Calcular determinantes y utilizar sus propiedades sin confundirlos con matrices.
• Calcular rango e inversas y distinguir singularidad de dependencia entre filas o columnas.

Checklist de repaso

• Matrices: operaciones y modelización — Operar con matrices y modelizar relaciones lineales respetando dimensiones y orden del producto.
• Determinantes y propiedades — Calcular determinantes y utilizar sus propiedades sin confundirlos con matrices.
• Rango e inversa de una matriz — Calcular rango e inversas y distinguir singularidad de dependencia entre filas o columnas.

Problemas representativos del tema

Problema 1. Si A es 2×3 y B es 3×4, ¿qué dimensión tiene AB? ¿Existe BA?

Abrir pista y solución

Pista: Compara dimensiones interiores en cada orden.

Solución razonada: AB existe y es 2×4. BA no está definido porque 4≠2.

Problema 2. Calcula A² para A=[1,1;0,1].

Abrir pista y solución

Pista: Multiplica la matriz por sí misma.

Solución razonada: A²=[1,2;0,1], no [1,1;0,1] por elevar entradas.

Problema 3. Calcula det([2,1;5,3]) y decide si es invertible.

Abrir pista y solución

Pista: Usa ad−bc.

Solución razonada: 2·3−1·5=1. Es invertible porque el determinante no es cero.

Problema 4. Calcula el determinante de [2,4,1;0,−1,3;0,0,3].

Abrir pista y solución

Pista: Es triangular superior.

Solución razonada: El producto diagonal es 2·(−1)·3=−6.

Problema 5. Halla rango de [1,2,3;2,4,6;0,1,1].

Abrir pista y solución

Pista: La segunda fila depende de la primera; compara la tercera.

Solución razonada: La segunda es el doble de la primera. La tercera no es múltiplo de la primera, así que el rango es 2.

Problema 6. Resuelve AX=B con A=[2,1;1,1] y B=[3;2].

Abrir pista y solución

Pista: Utiliza la inversa del ejemplo a la izquierda.

Solución razonada: X=[1,−1;−1,2][3;2]=[1;1]. Comprobación: A[1;1]=[3;2].

Errores que debes vigilar

• No multiplicar entrada a entrada cuando se pide producto matricial. No intercambiar AB y BA. No confundir matriz columna con matriz fila.
• No aplicar Sarrus a orden cuatro. No olvidar los signos de cofactores. No suponer det(A+B)=det(A)+det(B).
• No concluir rango n−1 solo por det=0. No cambiar el orden al despejar matrices. No aplicar la fórmula de inversa con determinante nulo.

Simulación y corrección

1. Haz una primera vuelta resolviendo lo seguro y señalando las preguntas que requieren más tiempo.
2. Escribe operaciones, unidades, hipótesis y justificaciones con claridad: una respuesta correcta sin razonamiento puede no demostrar todo el proceso.
3. Corrige con criterios oficiales cuando trabajes un examen real de tu comunidad; no uses esta página como baremo oficial.
4. Después vuelve al resumen del tema, los ejercicios, el test y los errores frecuentes.

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Entrenamiento de tiempo: cuando pases de práctica temática a un examen completo, utiliza como referencia los 90 minutos establecidos actualmente para cada ejercicio PAU y sigue las instrucciones concretas de tu comunidad.