Matemáticas II · PAU · GUÍA POR TEMA
Límites y continuidad para PAU: qué dominar y cómo practicar
Esta guía utiliza el contenido del curso para preparar el bloque de forma activa. No asigna una frecuencia histórica inventada ni promete que aparezca una pregunta concreta: la convocatoria oficial es la referencia final.
Idea central
Las hipótesis de un teorema son parte del razonamiento, no una frase decorativa.
Competencias que deberías demostrar
- Resolver límites mediante transformaciones justificadas y reconocer indeterminaciones antes de aplicar reglas.
- Comprobar continuidad y utilizar Bolzano y el teorema de los valores extremos con sus hipótesis.
- Estudiar asíntotas y empalmes de funciones a trozos sin confundir huecos con divergencias.
Checklist de repaso
- Límites e indeterminaciones — Resolver límites mediante transformaciones justificadas y reconocer indeterminaciones antes de aplicar reglas.
- Continuidad y teoremas básicos — Comprobar continuidad y utilizar Bolzano y el teorema de los valores extremos con sus hipótesis.
- Asíntotas y funciones a trozos — Estudiar asíntotas y empalmes de funciones a trozos sin confundir huecos con divergencias.
Problemas representativos del tema
Problema 1. Calcula limₓ→∞ (3x²−x+1)/(2x²+5).
Abrir pista y solución
Pista: Divide numerador y denominador por x².
Solución razonada: El cociente tiende a (3−0+0)/(2+0)=3/2.
Problema 2. Calcula limₓ→∞(√(x²+4x)−x).
Abrir pista y solución
Pista: Racionaliza y recuerda que x es positivo para x suficientemente grande.
Solución razonada: La expresión equivale a 4x/(√(x²+4x)+x)=4/(√(1+4/x)+1), que tiende a 2.
Problema 3. ¿Puede aplicarse Bolzano a f(x)=1/x en [−1,1] por tener valores de signo opuesto?
Abrir pista y solución
Pista: Comprueba continuidad en todo el intervalo.
Solución razonada: No. f no está definida en cero y no es continua en el intervalo. De hecho no tiene ninguna raíz, lo que muestra la importancia de la hipótesis.
Problema 4. ¿Alcanza f(x)=x un máximo en (0,1)? ¿Y en [0,1]?
Abrir pista y solución
Pista: Distingue supremo y valor alcanzado.
Solución razonada: En (0,1) no alcanza máximo: 1 es supremo, pero no pertenece a los valores obtenidos. En [0,1] alcanza máximo 1 en x=1 y mínimo 0 en x=0.
Problema 5. Estudia x=1 en (x²−1)/(x−1).
Abrir pista y solución
Pista: Factoriza antes de clasificar.
Solución razonada: Para x≠1 la expresión es x+1 y el límite es 2. Hay un hueco si no se define el punto, no una asíntota vertical.
Problema 6. Calcula las horizontales de f(x)=x/√(x²+1) en ±∞.
Abrir pista y solución
Pista: Usa √(x²)=|x|.
Solución razonada: En +∞, f→1; en −∞, f→−1. Las horizontales son y=1 a derecha e y=−1 a izquierda.
Errores que debes vigilar
- No sustituir 0/0 por cero. No usar √(x²)=x cuando x puede ser negativo. No aplicar l’Hôpital sin verificar la forma y las condiciones.
- No aplicar Bolzano atravesando una asíntota. No atribuir unicidad al cambio de signo. No confundir valor límite con máximo alcanzado en un extremo excluido.
- No sustituir |x| por x en el infinito negativo. No imponer solo una ecuación para continuidad y derivabilidad. No afirmar que una asíntota nunca se cruza.
Simulación y corrección
- Haz una primera vuelta resolviendo lo seguro y señalando las preguntas que requieren más tiempo.
- Escribe operaciones, unidades, hipótesis y justificaciones con claridad: una respuesta correcta sin razonamiento puede no demostrar todo el proceso.
- Corrige con criterios oficiales cuando trabajes un examen real de tu comunidad; no uses esta página como baremo oficial.
- Después vuelve al resumen del tema, los ejercicios, el test y los errores frecuentes.
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Entrenamiento de tiempo: cuando pases de práctica temática a un examen completo, utiliza como referencia los 90 minutos establecidos actualmente para cada ejercicio PAU y sigue las instrucciones concretas de tu comunidad.