Matemáticas II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Límites y continuidad
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Límites e indeterminaciones
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Ejercicio 1. Calcula limₓ→∞ (3x²−x+1)/(2x²+5).
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Pista: Divide numerador y denominador por x².
Solución: El cociente tiende a (3−0+0)/(2+0)=3/2.
Ejercicio 2. Calcula limₓ→∞(√(x²+4x)−x).
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Pista: Racionaliza y recuerda que x es positivo para x suficientemente grande.
Solución: La expresión equivale a 4x/(√(x²+4x)+x)=4/(√(1+4/x)+1), que tiende a 2.
Ejercicio 3. Calcula limₓ→₀ (eˣ−1−x)/x² por l’Hôpital justificando la forma.
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Pista: Aparece 0/0; revisa de nuevo tras la primera derivación.
Solución: Primera aplicación: (eˣ−1)/(2x), aún 0/0. Segunda: eˣ/2→1/2. Las funciones son derivables cerca de cero y los denominadores derivados no se anulan en el entorno perforado apropiado.
Continuidad y teoremas básicos
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Ejercicio 4. ¿Puede aplicarse Bolzano a f(x)=1/x en [−1,1] por tener valores de signo opuesto?
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Pista: Comprueba continuidad en todo el intervalo.
Solución: No. f no está definida en cero y no es continua en el intervalo. De hecho no tiene ninguna raíz, lo que muestra la importancia de la hipótesis.
Ejercicio 5. ¿Alcanza f(x)=x un máximo en (0,1)? ¿Y en [0,1]?
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Pista: Distingue supremo y valor alcanzado.
Solución: En (0,1) no alcanza máximo: 1 es supremo, pero no pertenece a los valores obtenidos. En [0,1] alcanza máximo 1 en x=1 y mínimo 0 en x=0.
Ejercicio 6. Una función a trozos tiene límite izquierdo 2, derecho 3 y f(a)=2. ¿Puede hacerse continua cambiando solo f(a)?
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Pista: Compara los laterales.
Solución: No. Los laterales son distintos y no existe un límite bilateral; cambiar un único valor no elimina el salto.
Asíntotas y funciones a trozos
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Ejercicio 7. Estudia x=1 en (x²−1)/(x−1).
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Pista: Factoriza antes de clasificar.
Solución: Para x≠1 la expresión es x+1 y el límite es 2. Hay un hueco si no se define el punto, no una asíntota vertical.
Ejercicio 8. Calcula las horizontales de f(x)=x/√(x²+1) en ±∞.
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Pista: Usa √(x²)=|x|.
Solución: En +∞, f→1; en −∞, f→−1. Las horizontales son y=1 a derecha e y=−1 a izquierda.
Ejercicio 9. Para f(x)=x² si x≤1 y ax+b si x>1, encuentra a,b para que sea derivable en 1.
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Pista: Primero valor, después pendiente.
Solución: Continuidad: a+b=1. Derivadas: a=2. Por tanto b=−1, y la rama derecha es 2x−1.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.