Matemáticas II · PAU · GUÍA POR TEMA
Geometría del espacio para PAU: qué dominar y cómo practicar
Esta guía utiliza el contenido del curso para preparar el bloque de forma activa. No asigna una frecuencia histórica inventada ni promete que aparezca una pregunta concreta: la convocatoria oficial es la referencia final.
Idea central
En tres dimensiones, dos rectas pueden no cortarse sin ser paralelas.
Competencias que deberías demostrar
- Operar con vectores del espacio y usar productos escalar, vectorial y mixto en geometría.
- Escribir rectas y planos en el espacio y clasificar sus posiciones relativas.
- Calcular distancias, ángulos y proyecciones en el espacio usando normales y directores adecuados.
Checklist de repaso
- Vectores, producto escalar, vectorial y mixto — Operar con vectores del espacio y usar productos escalar, vectorial y mixto en geometría.
- Rectas, planos y posiciones relativas — Escribir rectas y planos en el espacio y clasificar sus posiciones relativas.
- Distancias, ángulos y proyecciones — Calcular distancias, ángulos y proyecciones en el espacio usando normales y directores adecuados.
Problemas representativos del tema
Problema 1. Normaliza u=(2,−1,2).
Abrir pista y solución
Pista: Calcula su módulo antes de dividir.
Solución razonada: |u|=√(4+1+4)=3. Un unitario con su sentido es (2/3,−1/3,2/3).
Problema 2. ¿Son perpendiculares (1,2,−1) y (2,0,2)?
Abrir pista y solución
Pista: Calcula el producto escalar.
Solución razonada: 1·2+2·0+(−1)·2=0. Como ambos son no nulos, son perpendiculares.
Problema 3. Clasifica r=(t,0,0) y s=(0,1,u), con t,u reales.
Abrir pista y solución
Pista: Compara directores e intenta igualar las coordenadas.
Solución razonada: Los directores (1,0,0) y (0,0,1) no son paralelos. No se cortan porque la coordenada y sería a la vez 0 y 1. Son rectas que se cruzan en el espacio, no paralelas.
Problema 4. Clasifica la recta (1,0,0)+t(1,−1,0) respecto a x+y+z=1.
Abrir pista y solución
Pista: Sustituye cualquier t.
Solución razonada: La suma es 1+t−t+0=1 para todo t. La recta está contenida en el plano.
Problema 5. Halla la distancia de P=(1,0,1) a la recta r=t(1,1,0).
Abrir pista y solución
Pista: Proyecta P sobre el director.
Solución razonada: t=(P·v)/|v|²=1/2. La proyección es (1/2,1/2,0). La distancia es √[(1/2)²+(−1/2)²+1²]=√(3/2).
Problema 6. Halla distancia entre 2x−y+2z−1=0 y 2x−y+2z+5=0.
Abrir pista y solución
Pista: Los coeficientes normales ya coinciden.
Solución razonada: La distancia es |5−(−1)|/√(4+1+4)=6/3=2.
Errores que debes vigilar
- No llamar vector al producto escalar. No olvidar dividir por dos o seis en áreas y volúmenes. No normalizar el vector cero.
- No dividir entre componentes directoras nulas. No usar el mismo parámetro para dos rectas sin justificación. No confundir no paralelas con secantes en el espacio.
- No usar coseno para el ángulo recta-plano sin tomar el complementario. No olvidar normalizar. No aplicar una fórmula de rectas cruzadas a directores paralelos.
Simulación y corrección
- Haz una primera vuelta resolviendo lo seguro y señalando las preguntas que requieren más tiempo.
- Escribe operaciones, unidades, hipótesis y justificaciones con claridad: una respuesta correcta sin razonamiento puede no demostrar todo el proceso.
- Corrige con criterios oficiales cuando trabajes un examen real de tu comunidad; no uses esta página como baremo oficial.
- Después vuelve al resumen del tema, los ejercicios, el test y los errores frecuentes.
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Entrenamiento de tiempo: cuando pases de práctica temática a un examen completo, utiliza como referencia los 90 minutos establecidos actualmente para cada ejercicio PAU y sigue las instrucciones concretas de tu comunidad.