Matemáticas II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Distribuciones y evaluación
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Binomial y normal
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Ejercicio 1. Para X~B(3,0,5), calcula P(X≤1).
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Pista: Suma cero y un éxito.
Solución: P0=1/8 y P1=3/8, por lo que la probabilidad es 1/2.
Ejercicio 2. Una normal tiene μ=50 y σ=5. Halla su percentil 95 con z₀,₉₅=1,64485.
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Pista: Deshaz la tipificación.
Solución: x=50+5·1,64485=58,22425, aproximadamente 58,22.
Ejercicio 3. ¿Puede modelarse exactamente con binomial la cantidad de rojas en 8 extracciones sin reemplazamiento de una urna pequeña?
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Pista: Revisa independencia y constancia de p.
Solución: No en general. La composición cambia y las extracciones dependen entre sí. Habría que usar el modelo sin reemplazamiento o justificar una aproximación apropiada.
Aproximación normal y corrección de continuidad
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Ejercicio 4. Para la misma binomial, aproxima P(X=50) usando Φ(0,1)=0,53983.
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Pista: El intervalo corregido es [49,5;50,5].
Solución: Al tipificar, [−0,1;0,1]. P≈2·0,53983−1=0,07966.
Ejercicio 5. ¿Qué intervalo continuo corresponde a 48<X<53 cuando X es entero?
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Pista: Primero enumera enteros incluidos.
Solución: Se incluyen 49,50,51,52. La corrección de continuidad usa 48,5<Y<52,5, con igual probabilidad si se cierran extremos por continuidad.
Ejercicio 6. Valora la aproximación normal para B(20,0,05).
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Pista: Calcula np y n(1−p).
Solución: np=1 y n(1−p)=19. La distribución es muy asimétrica y cercana al límite cero; una aproximación normal básica es poco aconsejable. Es preferible cálculo binomial exacto para estas probabilidades.
Simulacros y revisión de errores
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Ejercicio 7. Simulacro C: halla la proyección de P=(2,1,3) sobre z=1 y la distancia al plano.
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Pista: El normal apunta en dirección z.
Solución: La proyección es (2,1,1), porque se conserva x,y y se corrige z. Distancia |3−1|=2. El segmento es perpendicular al plano y su extremo pertenece a él.
Ejercicio 8. Simulacro D: A aporta 70 % de piezas con 1 % defectuosas y B 30 % con 4 %. Calcula defecto total y origen B dado defecto.
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Pista: Usa total y Bayes, conservando cifras.
Solución: P(D)=0,70·0,01+0,30·0,04=0,019. P(B|D)=0,012/0,019=12/19≈0,63158. Son 1,9 % de defecto total y 63,16 % de origen B entre defectuosas.
Ejercicio 9. Simulacro E: calcula ∫₀¹2x/(1+x²)dx y verifica que el resultado es positivo y menor que 1.
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Pista: La primitiva logarítmica aparece por sustitución.
Solución: La integral es [ln(1+x²)]₀¹=ln2≈0,6931. El integrando es no negativo y no supera 1 en [0,1], por lo que el resultado encaja entre 0 y 1.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.