Matemáticas II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Geometría del espacio
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Vectores, producto escalar, vectorial y mixto
Explicación completa: abrir la lección
Ejercicio 1. Normaliza u=(2,−1,2).
Mostrar pista y solución
Pista: Calcula su módulo antes de dividir.
Solución: |u|=√(4+1+4)=3. Un unitario con su sentido es (2/3,−1/3,2/3).
Ejercicio 2. ¿Son perpendiculares (1,2,−1) y (2,0,2)?
Mostrar pista y solución
Pista: Calcula el producto escalar.
Solución: 1·2+2·0+(−1)·2=0. Como ambos son no nulos, son perpendiculares.
Ejercicio 3. Si w=2u−v, ¿qué vale (u×v)·w?
Mostrar pista y solución
Pista: Usa la perpendicularidad del producto vectorial con u y v.
Solución: Vale 2(u×v)·u−(u×v)·v=0. Los tres son dependientes y el volumen del paralelepípedo es cero.
Rectas, planos y posiciones relativas
Explicación completa: abrir la lección
Ejercicio 4. Clasifica r=(t,0,0) y s=(0,1,u), con t,u reales.
Mostrar pista y solución
Pista: Compara directores e intenta igualar las coordenadas.
Solución: Los directores (1,0,0) y (0,0,1) no son paralelos. No se cortan porque la coordenada y sería a la vez 0 y 1. Son rectas que se cruzan en el espacio, no paralelas.
Ejercicio 5. Clasifica la recta (1,0,0)+t(1,−1,0) respecto a x+y+z=1.
Mostrar pista y solución
Pista: Sustituye cualquier t.
Solución: La suma es 1+t−t+0=1 para todo t. La recta está contenida en el plano.
Ejercicio 6. Halla la intersección de los planos x+y=1 y z=2.
Mostrar pista y solución
Pista: Elige una coordenada como parámetro.
Solución: Tomando x=t, y=1−t y z=2: r=(0,1,2)+t(1,−1,0). Las normales (1,1,0) y (0,0,1) no son proporcionales.
Distancias, ángulos y proyecciones
Explicación completa: abrir la lección
Ejercicio 7. Halla la distancia de P=(1,0,1) a la recta r=t(1,1,0).
Mostrar pista y solución
Pista: Proyecta P sobre el director.
Solución: t=(P·v)/|v|²=1/2. La proyección es (1/2,1/2,0). La distancia es √[(1/2)²+(−1/2)²+1²]=√(3/2).
Ejercicio 8. Halla distancia entre 2x−y+2z−1=0 y 2x−y+2z+5=0.
Mostrar pista y solución
Pista: Los coeficientes normales ya coinciden.
Solución: La distancia es |5−(−1)|/√(4+1+4)=6/3=2.
Ejercicio 9. Calcula distancia entre r=(t,0,0) y s=(0,1,u).
Mostrar pista y solución
Pista: Un segmento perpendicular a ambas une (0,0,0) con (0,1,0).
Solución: La distancia es 1. También se obtiene con |(Q−P)·(v×w)|/|v×w|, usando v=(1,0,0), w=(0,0,1).
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.