Matemáticas II · 2.º Bachillerato · PAU · Geometría del espacio
Resumen y formulario: Geometría del espacio
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La idea que conecta el tema
En tres dimensiones, dos rectas pueden no cortarse sin ser paralelas.
Qué debes ser capaz de hacer
- Operar con vectores del espacio y usar productos escalar, vectorial y mixto en geometría.
- Escribir rectas y planos en el espacio y clasificar sus posiciones relativas.
- Calcular distancias, ángulos y proyecciones en el espacio usando normales y directores adecuados.
Mapa de lecciones
- Vectores, producto escalar, vectorial y mixto
- Rectas, planos y posiciones relativas
- Distancias, ángulos y proyecciones
Formulario esencial
Vectores, producto escalar, vectorial y mixto: u·v=u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃. u×v=(u₂v₃−u₃v₂,u₃v₁−u₁v₃,u₁v₂−u₂v₁). V=|(u×v)·w|.
Rectas, planos y posiciones relativas: Recta: r=P+tv. Plano: n·(r−P)=0. Recta-plano: n·v≠0 → corte único. Dirección de intersección de planos: n₁×n₂.
Distancias, ángulos y proyecciones: d(P,π)=|n·P+d|/|n|. Proy_π(P)=P−[(n·P+d)/|n|²]n. d(P,r)=|(P−Q)×v|/|v|. senθ_recta-plano=|v·n|/(|v||n|).
Cómo decidir el procedimiento
- Identifica puntos, directores y normales.
- Compara direcciones y resuelve intersecciones.
- Para distancias usa fórmulas adecuadas a la posición relativa.
- Verifica pies de perpendicular con pertenencia y ortogonalidad.
Preguntas rápidas de recuperación
- Perpendicularidad.
- Su signo.
- Un punto y un director no nulo.
- Un punto y un normal no nulo.
- La normal.
- Pertenecer al objeto y tener separación perpendicular.