Matemáticas II · 2.º Bachillerato · PAU · Límites y continuidad
Resumen y formulario: Límites y continuidad
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La idea que conecta el tema
Las hipótesis de un teorema son parte del razonamiento, no una frase decorativa.
Qué debes ser capaz de hacer
- Resolver límites mediante transformaciones justificadas y reconocer indeterminaciones antes de aplicar reglas.
- Comprobar continuidad y utilizar Bolzano y el teorema de los valores extremos con sus hipótesis.
- Estudiar asíntotas y empalmes de funciones a trozos sin confundir huecos con divergencias.
Mapa de lecciones
Formulario esencial
Límites e indeterminaciones: limₓ→₀ senx/x=1; limₓ→₀(eˣ−1)/x=1; limₓ→₀ln(1+x)/x=1. 0/0 e ∞/∞ son formas indeterminadas, no valores.
Continuidad y teoremas básicos: Continuidad en a: limₓ→ₐf(x)=f(a). Bolzano: continua en [a,b] y f(a)f(b)<0 → raíz en (a,b). Continua en compacto → alcanza extremos.
Asíntotas y funciones a trozos: Vertical: algún limₓ→ₐ±f=±∞. Horizontal: limₓ→±∞f=L. Oblicua: lim[f−(mx+n)]=0. Empalme derivable: valor y pendientes compatibles.
Cómo decidir el procedimiento
- Clasifica indeterminaciones antes de elegir una técnica.
- Comprueba continuidad en el intervalo cuando invoques un teorema.
- Estudia por separado los extremos del dominio.
- No confundas discontinuidad evitable con asíntota vertical.
Preguntas rápidas de recuperación
- Laterales existentes e iguales.
- En muchos casos, una diferencia de raíces que produce indeterminación.
- Valor definido, límite existente e igualdad entre ambos.
- Asignar el valor del límite en el punto.
- Mediante división de polinomios y resto que tienda a cero.
- Pueden tener comportamientos diferentes.