Matemáticas II · Práctica por tema
Ejercicios resueltos de Matrices y determinantes
Trabaja los ejercicios en papel antes de abrir las soluciones. Si necesitas mirar la respuesta demasiado pronto, vuelve a la lección enlazada y repite después el problema sin ayuda.
Matrices: operaciones y modelización
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Ejercicio 1. Si A es 2×3 y B es 3×4, ¿qué dimensión tiene AB? ¿Existe BA?
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Pista: Compara dimensiones interiores en cada orden.
Solución: AB existe y es 2×4. BA no está definido porque 4≠2.
Ejercicio 2. Calcula A² para A=[1,1;0,1].
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Pista: Multiplica la matriz por sí misma.
Solución: A²=[1,2;0,1], no [1,1;0,1] por elevar entradas.
Ejercicio 3. Traspon A=[1,2,3;4,5,6].
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Pista: Las filas pasan a columnas.
Solución: Aᵀ=[1,4;2,5;3,6], de dimensión 3×2.
Determinantes y propiedades
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Ejercicio 4. Calcula det([2,1;5,3]) y decide si es invertible.
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Pista: Usa ad−bc.
Solución: 2·3−1·5=1. Es invertible porque el determinante no es cero.
Ejercicio 5. Calcula el determinante de [2,4,1;0,−1,3;0,0,3].
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Pista: Es triangular superior.
Solución: El producto diagonal es 2·(−1)·3=−6.
Ejercicio 6. Si det(A)=3 y det(B)=−2, calcula det(AB) y explica por qué no puedes deducir det(A+B).
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Pista: Usa solo la propiedad que corresponde al producto.
Solución: det(AB)=−6. Los determinantes individuales no determinan en general det(A+B), porque no existe aditividad universal.
Rango e inversa de una matriz
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Ejercicio 7. Halla rango de [1,2,3;2,4,6;0,1,1].
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Pista: La segunda fila depende de la primera; compara la tercera.
Solución: La segunda es el doble de la primera. La tercera no es múltiplo de la primera, así que el rango es 2.
Ejercicio 8. Resuelve AX=B con A=[2,1;1,1] y B=[3;2].
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Pista: Utiliza la inversa del ejemplo a la izquierda.
Solución: X=[1,−1;−1,2][3;2]=[1;1]. Comprobación: A[1;1]=[3;2].
Ejercicio 9. ¿Tiene inversa [1,2;2,4]? ¿Cuál es su rango?
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Pista: Calcula determinante y observa dependencia.
Solución: det=4−4=0: no tiene inversa. La segunda fila es el doble de la primera no nula, por lo que rango=1.
Cómo corregirte
- Marca con un símbolo distinto un error de concepto, uno de procedimiento y uno de cálculo.
- Repite sin mirar solo los problemas fallados; no vuelvas a empezar siempre desde el ejercicio 1.
- Antes de cerrar, revisa los errores frecuentes del tema y haz el test corto.