Geometría del espacio

Matemáticas II · Unidad 6

En tres dimensiones, dos rectas pueden no cortarse sin ser paralelas.

Lecciones del tema

Resumen y esquema de decisión

Formulario del tema

Vectores, producto escalar, vectorial y mixto

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+u_3{v}_3$$

$$\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=(u_2{v}_3-u_3{v}_2,u_3{v}_1-u_1{v}_3,u_1{v}_2-u_2{v}_1)$$

$$V=|(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})\cdot \overrightarrow{w}|$$

Rectas, planos y posiciones relativas

$$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{P}+t\overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0})$$

$$\overrightarrow{n}\cdot (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{P})=0(\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0})$$

$$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}\ne 0\Rightarrow \text{corte único recta-plano}$$

Distancias, ángulos y proyecciones

$$d(P,\pi )=\frac{|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{P}+d|}{\Vert \overrightarrow{n}\Vert }$$

$$d(P,r)=\frac{\Vert (\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q})\times \overrightarrow{v}\Vert }{\Vert \overrightarrow{v}\Vert }$$

$$\sin {\theta }_{r,\pi }=\frac{|\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}|}{\Vert \overrightarrow{v}\Vert \Vert \overrightarrow{n}\Vert }$$

Refuerzo 1 · Recuperación activa

Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.

¿Qué cambia al invertir un producto vectorial?

Su signo.

¿Qué define un plano en forma normal?

Un punto y un normal no nulo.

¿Qué debe cumplir una proyección calculada?

Pertenecer al objeto y tener separación perpendicular.

Refuerzo 2 · Detecta el error

Refuerzo 3 · Reto de transferencia

Refuerzo 4 · Minitest mixto

Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.

u×v produce…

1. Un número siempre
2. Un vector
3. Una matriz 3×3 como resultado final

Solución y explicación

Respuesta: Un vector. El determinante simbólico es un recurso de cálculo, pero el resultado es vectorial.

Una componente directora cero…

1. Se usa como denominador cero
2. Impone la coordenada constante correspondiente
3. Hace imposible la recta

Solución y explicación

Respuesta: Impone la coordenada constante correspondiente. La forma paramétrica evita una división no definida.

Ángulo recta-plano usa el director y el normal mediante…

1. Seno del ángulo buscado
2. Siempre el coseno del ángulo buscado
3. Suma de módulos

Solución y explicación

Respuesta: Seno del ángulo buscado. El ángulo con el normal es complementario.

El área del triángulo de aristas u,v es…

1. |u×v|/2
2. u·v siempre
3. |u×v|

Solución y explicación

Respuesta: |u×v|/2. El paralelogramo tiene el doble de área.

Dos rectas no paralelas en el espacio…

1. Siempre se cortan
2. Siempre coinciden
3. Pueden cruzarse sin cortarse

Solución y explicación

Respuesta: Pueden cruzarse sin cortarse. La geometría tridimensional admite rectas alabeadas.

Para distancia punto-plano se divide por…

1. La coordenada z
2. El módulo del normal
3. La suma de coordenadas del punto

Solución y explicación

Respuesta: El módulo del normal. Así el resultado no depende de escalar la ecuación del plano.

Producto mixto cero implica…

1. Tres vectores independientes
2. Volumen positivo
3. Dependencia lineal

Solución y explicación

Respuesta: Dependencia lineal. No generan un volumen tridimensional no nulo.

Tres puntos definen un único plano si…

1. No están alineados
2. Son iguales
3. Tienen la misma x siempre

Solución y explicación

Respuesta: No están alineados. Se necesitan dos direcciones independientes.

La fórmula de distancia entre rectas con v×w en el denominador…

1. Sirve sin cambios para paralelas
2. No requiere clasificar
3. Exige v×w≠0

Solución y explicación

Respuesta: Exige v×w≠0. Las rectas paralelas necesitan otra expresión.

Refuerzo 5 · Flashcards del tema

Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.

¿Qué detecta u·v=0 con vectores no nulos?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Perpendicularidad.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué cambia al invertir un producto vectorial?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Su signo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué mide |u×v|?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Área del paralelogramo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Volumen del tetraedro con tres aristas comunes?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Un sexto del módulo del producto mixto.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué define una recta?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Un punto y un director no nulo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué define un plano en forma normal?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Un punto y un normal no nulo.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué indican normales proporcionales?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Planos paralelos o coincidentes.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo hallar un director del corte de dos planos?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Con el producto vectorial de sus normales no paralelas.

Intenta responder antes de mirar.

¿Dirección del segmento mínimo a un plano?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

La normal.

Intenta responder antes de mirar.

¿Qué debe cumplir una proyección calculada?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Pertenecer al objeto y tener separación perpendicular.

Intenta responder antes de mirar.

¿Cómo comparar dos planos paralelos antes de medir?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Escribirlos con el mismo vector normal.

Intenta responder antes de mirar.

¿Por qué aparecen valores absolutos?

Ya lo he intentado: revelar respuesta

Para obtener distancias no negativas y ángulos menores cuando se solicitan.

Intenta responder antes de mirar.

Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior

Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.

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Fuentes y revisión editorial

Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.

• Real Decreto 243/2022, texto consolidado: enseñanzas mínimas de Bachillerato
• Orden de 30 de mayo de 2023: currículo de Bachillerato en Andalucía