Derivadas para PAU

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · PAU · GUÍA POR TEMA

Derivadas para PAU: qué dominar y cómo practicar

Esta guía utiliza el contenido del curso para preparar el bloque de forma activa. No asigna una frecuencia histórica inventada ni promete que aparezca una pregunta concreta: la convocatoria oficial es la referencia final.

Competencias que deberías demostrar

• Interpretar derivadas como tasas marginales y aproximar cambios pequeños con sus límites.
• Estudiar crecimiento, extremos y curvatura de modelos y distinguir máximos locales de absolutos.
• Optimizar costes, ingresos y beneficios considerando dominio, fronteras y cantidades discretas.

Checklist de repaso

• Derivadas y tasa de variación — Interpretar derivadas como tasas marginales y aproximar cambios pequeños con sus límites.
• Crecimiento, extremos y curvatura — Estudiar crecimiento, extremos y curvatura de modelos y distinguir máximos locales de absolutos.
• Optimización de costes y beneficios — Optimizar costes, ingresos y beneficios considerando dominio, fronteras y cantidades discretas.

Problemas representativos del tema

Problema 1. Deriva B(q)=−2q²+40q−50 y calcula B′(5).

Abrir pista y solución

Pista: Aplica la regla de potencia.

Solución razonada: B′=−4q+40; B′(5)=20. En ese punto el beneficio aumenta localmente unas 20 unidades por una pequeña unidad de q.

Problema 2. Deriva f(x)=ln(2x+1) e indica el dominio real.

Abrir pista y solución

Pista: Usa cadena y argumento positivo.

Solución razonada: Dominio x>−1/2. f′=2/(2x+1) en ese dominio.

Problema 3. Halla extremos absolutos de f(x)=−x²+4x en [0,5].

Abrir pista y solución

Pista: Compara el crítico con los dos extremos.

Solución razonada: f′=−2x+4 da x=2. f(0)=0, f(2)=4, f(5)=−5. Máximo absoluto 4 en 2 y mínimo −5 en 5.

Problema 4. ¿f(x)=x⁴ tiene inflexión en 0?

Abrir pista y solución

Pista: Comprueba el signo de f″=12x².

Solución razonada: No. f″ se anula pero no cambia de signo; la curvatura permanece hacia arriba.

Problema 5. Maximiza I(q)=60q−2q² en [0,30].

Abrir pista y solución

Pista: El vértice está donde I′=0.

Solución razonada: I′=60−4q, luego q=15. I(15)=900−450=450 y el precio asociado 60−2·15=30. I″=−4 confirma máximo.

Problema 6. Un beneficio B(q)=−q²+11q−10 se aplica a q enteros entre 0 y 10. Encuentra máximos.

Abrir pista y solución

Pista: El óptimo continuo es 5,5; compara 5 y 6.

Solución razonada: B(5)=20 y B(6)=20. Ambos son óptimos enteros; el continuo alcanzaría 20,25, pero q=5,5 no es admisible.

Errores que debes vigilar

• No presentar marginal como incremento exacto universal. No confundir tasa decreciente con valor decreciente. No olvidar la derivada interior del exponente.
• No clasificar solo por f′=0. No confundir punto de inflexión con máximo. No olvidar el dominio temporal t≥0 en un modelo.
• No optimizar ingreso cuando se pide beneficio. No confundir coste medio mínimo con coste total mínimo. No omitir empates enteros.

Simulación y corrección

1. Haz una primera vuelta resolviendo lo seguro y señalando las preguntas que requieren más tiempo.
2. Escribe operaciones, unidades, hipótesis y justificaciones con claridad: una respuesta correcta sin razonamiento puede no demostrar todo el proceso.
3. Corrige con criterios oficiales cuando trabajes un examen real de tu comunidad; no uses esta página como baremo oficial.
4. Después vuelve al resumen del tema, los ejercicios, el test y los errores frecuentes.

Busca el examen oficial de tu comunidad

Selecciona tu territorio en Exámenes PAU por comunidad. Allí enlazamos la fuente institucional que debes comprobar antes de usar un modelo como referencia de la convocatoria vigente.

Entrenamiento de tiempo: cuando pases de práctica temática a un examen completo, utiliza como referencia los 90 minutos establecidos actualmente para cada ejercicio PAU y sigue las instrucciones concretas de tu comunidad.