Estudiar crecimiento, extremos y curvatura de modelos y distinguir máximos locales de absolutos.
Míralo en un dibujo
La parábola f(x)=(x−2)² decrece para x<2 y crece para x>2. Su derivada 2x−4 cambia de negativa a positiva: en x=2 hay un mínimo. La segunda derivada es positiva.
Antes de seguir: ¿Todo punto con derivada cero es un extremo?
Comprueba tu razonamiento
No. Hay que comprobar el cambio de signo u otro criterio aplicable; por ejemplo, x³ tiene derivada cero en 0 y no tiene allí un extremo.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Derivadas; Función beneficio; Dominio contextual.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué indica f′<0?
La función decrece en el intervalo correspondiente.
En un minuto
- La función decrece en el intervalo correspondiente.
- La pendiente disminuye, bajo las hipótesis de derivabilidad.
- No: uno compara cerca del punto y otro en todo el dominio.
- Valores en críticos, puntos no derivables pertinentes y extremos del intervalo.
Entiende la idea
El concepto
El signo de la derivada informa sobre crecimiento y decrecimiento en intervalos donde la función es derivable. Para construir una tabla de signos se localizan ceros de la derivada y puntos donde cambia el dominio o la derivabilidad. Después se prueba el signo en cada intervalo, sin asumir que todo cero de f′ sea un máximo o mínimo.
Un máximo local aparece, en el caso habitual de cambio de signo, cuando la derivada pasa de positiva a negativa. Un mínimo local, cuando pasa de negativa a positiva. Si no cambia el signo puede haber un punto estacionario sin extremo. La segunda derivada puede ayudar a clasificar, pero cuando vale cero la prueba simple no decide y hay que seguir analizando.
Cómo utilizarlo sin errores
La curvatura describe cómo cambia la pendiente. Aquí se expresa mediante el signo de f″ para evitar ambigüedades terminológicas: f″>0 indica pendiente creciente y curvatura hacia arriba; f″<0, pendiente decreciente y curvatura hacia abajo. Una inflexión requiere un cambio efectivo de curvatura, no solo resolver f″=0.
Para un máximo o mínimo absoluto se considera todo el dominio solicitado. En un intervalo cerrado se comparan críticos y extremos, además de puntos no derivables donde la función exista. En dominios abiertos o ilimitados pueden influir límites no alcanzados. La interpretación debe responder a valores y momentos o cantidades, y distinguir un pico local de un mejor resultado global. Los modelos temporales o de producción de esta lección son ejercicios matemáticos ficticios.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
f′>0: crece; f′<0: decrece. Cambio +→−: máximo local; −→+: mínimo local. f″ con cambio de signo: candidato a inflexión que debe pertenecer a la gráfica.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Estudia f(t)=te^(−t) para t≥0: crecimiento, máximo e inflexión.
- f′=e^(−t)(1−t). Es positiva en [0,1) y negativa para t>1. El máximo global es f(1)=1/e, pues f(0)=0 y f→0 al infinito.
- f″=e^(−t)(t−2). Es negativa antes de 2 y positiva después.
- Hay inflexión en t=2, con f(2)=2e⁻². El máximo y la inflexión no ocurren en el mismo punto.
Ejemplo 2 · Estudia f(x)=x³ respecto a un extremo e inflexión en cero.
- f′=3x² no cambia de signo alrededor de cero, aunque f′(0)=0. No hay máximo ni mínimo allí.
- f″=6x cambia de negativo a positivo al pasar por cero.
- Existe inflexión en (0,0). El ejemplo separa tres ideas: derivada nula, extremo e inflexión.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Halla extremos absolutos de f(x)=−x²+4x en [0,5].
Primera ayuda
Compara el crítico con los dos extremos.
Ver solución razonada
f′=−2x+4 da x=2. f(0)=0, f(2)=4, f(5)=−5. Máximo absoluto 4 en 2 y mínimo −5 en 5.
Práctica 2 · ¿f(x)=x⁴ tiene inflexión en 0?
Primera ayuda
Comprueba el signo de f″=12x².
Ver solución razonada
No. f″ se anula pero no cambia de signo; la curvatura permanece hacia arriba.
Práctica 3 · Una función tiene f′>0 y f″<0 en un intervalo. Interpreta ambas condiciones.
Primera ayuda
Separa valor y pendiente.
Ver solución razonada
La función crece, pero su pendiente disminuye: el crecimiento se ralentiza en ese intervalo. No significa que los valores bajen.
El error que debes evitar
No clasificar solo por f′=0. No confundir punto de inflexión con máximo. No olvidar el dominio temporal t≥0 en un modelo.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Un cero de f′ es…
Solución y explicación
Respuesta: Un candidato que debe analizarse. El cambio de signo o una prueba válida decide.
Para extremos absolutos en un intervalo cerrado…
Solución y explicación
Respuesta: Se revisan también las fronteras. Un extremo absoluto puede estar en un extremo del intervalo.
f″=0 basta para inflexión…
Solución y explicación
Respuesta: No. Hace falta un cambio de curvatura apropiado.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué indica f′<0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La función decrece en el intervalo correspondiente.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué indica f″<0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La pendiente disminuye, bajo las hipótesis de derivabilidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Máximo local y absoluto coinciden siempre?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: uno compara cerca del punto y otro en todo el dominio.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué comparar para un extremo absoluto cerrado?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Valores en críticos, puntos no derivables pertinentes y extremos del intervalo.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Representa cualitativamente te⁻ᵗ usando únicamente signos, extremos y límites, y explica qué información no necesitas obtener mediante una tabla extensa de valores.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.