Tipificar variables normales y aproximar una binomial aplicando correctamente la corrección de continuidad.
Míralo en un dibujo
La transformación z=(x−μ)/σ traslada la media a 0 y expresa la distancia en desviaciones típicas. Para x=70, μ=60 y σ=5, resulta z=2.
Antes de seguir: ¿Qué signo tendrá z para un dato por debajo de la media?
Comprueba tu razonamiento
Negativo, porque x−μ será negativo y σ es positiva.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Normal; Tipificación; Tamaño de muestra.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Frontera de X≤k?
k+0,5 en la aproximación normal.
En un minuto
- k+0,5 en la aproximación normal.
- k−0,5.
- 1−Φ(z).
- No; es una regla orientativa y la precisión depende también de la probabilidad buscada.
Entiende la idea
El concepto
Tipificar transforma una variable normal en una normal estándar: se resta su media y se divide entre su desviación típica. Es un cambio de escala, no una modificación de las probabilidades. Un intervalo situado una desviación por debajo y otra por encima de la media conserva la misma probabilidad sea cual sea la unidad original.
La tabla de Φ(z) o una función de distribución devuelve el área a la izquierda. Para obtener una cola derecha se resta de uno; para un intervalo se restan acumuladas. Un percentil requiere el camino inverso: localizar primero el valor z cuya acumulada coincide con la proporción y deshacer después la tipificación.
Cómo utilizarlo sin errores
Una binomial puede aproximarse por una normal de media np y desviación √[np(1−p)] cuando la distribución no resulta demasiado asimétrica. Comprobar que np y n(1−p) son suficientemente grandes es una orientación, no una garantía universal de precisión. Para probabilidades de colas extremas o cuando se dispone de cálculo binomial exacto, conviene comparar ambos resultados.
La binomial es discreta y la normal continua. La corrección de continuidad representa cada entero k mediante el tramo de k−0,5 a k+0,5. Así, X≤55 pasa a Y≤55,5, mientras X≥55 pasa a Y≥54,5. «Mayor que 55» equivale a «al menos 56», y no utiliza la misma frontera que «al menos 55». Escribir primero el conjunto de enteros evita muchos errores.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Φ(z)=P(Z≤z). Percentil xₚ=μ+zₚσ. B(n,p)≈N(np,√[np(1−p)]), con corrección de continuidad.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · X~B(100;0,5). Aproxima P(X≤55), usando Φ(1,1)=0,86433.
- La normal asociada tiene μ=50 y σ=5; np=n(1−p)=50.
- La frontera corregida es 55,5. Tipificamos: z=(55,5−50)/5=1,1.
- P(X≤55)≈0,86433. Es una aproximación, no el resultado binomial exacto.
Ejemplo 2 · X~N(100,15), σ=15. Calcula el percentil 90 usando z₀,₉₀=1,28155.
- Buscamos x tal que P(X≤x)=0,90.
- x=100+1,28155·15=119,22325.
- Aproximadamente el 90 % del modelo queda por debajo de 119,22, no por encima.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Para B(100;0,5), aproxima P(X≥60). Usa Φ(1,9)=0,97128.
Primera ayuda
El primer entero incluido es 60.
Ver solución razonada
La frontera inferior es 59,5; z=(59,5−50)/5=1,9. La cola derecha es 1−0,97128=0,02872.
Práctica 2 · Aproxima P(X=50) en la misma binomial. Usa Φ(0,1)=0,53983.
Primera ayuda
Un punto discreto se representa con un intervalo.
Ver solución razonada
Se usa 49,5≤Y≤50,5, es decir −0,1≤Z≤0,1. La probabilidad es 2·0,53983−1=0,07966.
Práctica 3 · X~N(40,5), σ=5. Obtén el intervalo central del 95 %, usando z=1,96.
Primera ayuda
Deja 2,5 % en cada cola.
Ver solución razonada
40±1,96·5 produce [30,2;49,8]. Es un intervalo de valores individuales del modelo, no un intervalo de confianza para una media desconocida.
El error que debes evitar
No confundir > con ≥ antes de corregir. No llamar exacto al resultado aproximado. No interpretar un intervalo de valores individuales como incertidumbre sobre la media.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
X>55 en una binomial se aproxima con…
Solución y explicación
Respuesta: Y>55,5. El primer entero incluido es 56 y su borde inferior es 55,5.
Una tabla Φ devuelve normalmente…
Solución y explicación
Respuesta: El área a la izquierda. Hay que comprobar la convención de la tabla utilizada.
La corrección de continuidad es necesaria porque…
Solución y explicación
Respuesta: Se aproxima una variable discreta por una continua. Se asigna a cada entero un intervalo de anchura uno.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Frontera de X≤k?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
k+0,5 en la aproximación normal.
Intenta responder antes de mirar.
¿Frontera de X≥k?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
k−0,5.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se obtiene una cola derecha?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
1−Φ(z).
Intenta responder antes de mirar.
¿Un umbral np≥5 garantiza exactitud?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No; es una regla orientativa y la precisión depende también de la probabilidad buscada.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Escribe las fronteras corregidas para X<40, X≥40 y 40<X≤50 y dibuja mentalmente los enteros incluidos.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.