Construir e interpretar intervalos para medias y proporciones y dimensionar una muestra con un margen objetivo.
Míralo en un dibujo
Se representan intervalos de confianza obtenidos de muestras distintas frente a una misma media poblacional. Algunos no contienen la media. El nivel de confianza describe la cobertura del procedimiento.
Antes de seguir: ¿Qué significa la confianza del 95% en la interpretación frecuentista?
Comprueba tu razonamiento
Que, al repetir el procedimiento bajo sus supuestos, aproximadamente el 95% de los intervalos construidos contendría el parámetro fijo.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Media muestral; Normal estándar; Muestreo.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Margen?
Valor crítico por error estándar; es la semiamplitud.
En un minuto
- Valor crítico por error estándar; es la semiamplitud.
- Intervalo más ancho.
- Siempre al entero superior.
- Cobertura del procedimiento en repeticiones, bajo sus supuestos.
Entiende la idea
El concepto
Un intervalo de confianza combina una estimación puntual y un margen. Su cobertura se refiere al procedimiento en muestras repetidas: un método del 95 % construye intervalos que contienen el parámetro en aproximadamente el 95 % de las repeticiones, bajo sus supuestos. Una vez observados los datos, el parámetro frecuentista es fijo; no se obtiene automáticamente una probabilidad posterior del 95 % de que esté dentro del intervalo concreto.
Para estimar una media con σ conocida y una población normal, se utiliza un valor crítico normal y el error estándar σ/√n. También puede utilizarse una aproximación justificada para la media. Si σ es desconocida y la población es normal, sustituirla por s lleva al intervalo con distribución t de Student y n−1 grados de libertad; no debe emplearse siempre 1,96 con una muestra pequeña.
Cómo utilizarlo sin errores
Para una proporción, el intervalo normal habitual sustituye p por p̂ en el error estándar. Es una aproximación que puede funcionar mal con pocos éxitos, pocos fracasos o proporciones próximas a cero o uno. En esos casos hacen falta métodos más adecuados; no basta con recortar un intervalo negativo y llamarlo exacto. Aquí se trabajan ejemplos con conteos suficientes para el tratamiento introductorio.
Aumentar la confianza ensancha el intervalo si lo demás permanece fijo. Aumentar la muestra lo estrecha. El margen es la semiamplitud, no la longitud total. Para calcular un tamaño mínimo se despeja n y se redondea hacia arriba. En una proporción sin estimación previa, p=0,5 maximiza p(1−p) y proporciona un tamaño conservador dentro de esta aproximación.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Media, σ conocida: X̄±z·σ/√n. σ desconocida y normalidad: X̄±t·s/√n. Proporción aproximada: p̂±z√[p̂(1−p̂)/n]. n≥(zσ/E)².
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · X̄=50, σ=12 conocida y n=36. Construye un intervalo del 95 %, con z=1,96 y normalidad.
- El error estándar es 12/6=2. El margen es 1,96·2=3,92.
- El intervalo es [46,08;53,92], de amplitud 7,84.
- Se interpreta como resultado de un procedimiento con cobertura del 95 % bajo el modelo, no como el intervalo que contiene al 95 % de los individuos.
Ejemplo 2 · En una muestra independiente, 120 de 200 cumplen una condición. Construye el intervalo normal aproximado del 95 %.
- p̂=0,60. Hay 120 éxitos y 80 fracasos; la aproximación introductoria no está cerca de las fronteras.
- SE=√(0,24/200)=0,034641. Margen=1,96·SE≈0,067896.
- El intervalo aproximado es [0,53210;0,66790], o [53,21 %;66,79 %].
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Con σ=10 conocida, confianza 95 % y margen como máximo 2, calcula n.
Primera ayuda
Usa z=1,96 y redondea hacia arriba.
Ver solución razonada
n≥(1,96·10/2)²=96,04. El mínimo entero es 97; 96 no garantiza el margen solicitado bajo esta fórmula.
Práctica 2 · Muestra de población normal: n=16, X̄=20, s=4 y σ desconocida. Usa t crítico=2,13145.
Primera ayuda
Hay 15 grados de libertad y SE=s/√n.
Ver solución razonada
SE=1. El intervalo es 20±2,13145=[17,86855;22,13145]. El crítico proporcionado corresponde al 95 % bilateral con 15 grados de libertad.
Práctica 3 · Sin estimación previa de p, pide margen 0,05 y confianza 95 %.
Primera ayuda
Maximiza p(1−p) con p=0,5.
Ver solución razonada
n≥1,96²·0,25/0,05²=384,16; se toman al menos 385 observaciones independientes. El tamaño no soluciona sesgos de selección.
El error que debes evitar
No confundir intervalo de la media con dispersión de individuos. No usar z automáticamente si σ es desconocida. No redondear n al entero más próximo. No prometer cobertura exacta para una proporción mediante una aproximación normal.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Un intervalo [42,48] tiene margen…
Solución y explicación
Respuesta: 3. La mitad de su amplitud es (48−42)/2=3.
Si n se multiplica por cuatro, manteniendo el resto, el margen normal…
Solución y explicación
Respuesta: Se reduce a la mitad. Depende de 1/√n.
Con σ desconocida, muestra normal pequeña y s disponible, corresponde…
Solución y explicación
Respuesta: Considerar t de Student. La estimación de σ introduce incertidumbre adicional.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Margen?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Valor crítico por error estándar; es la semiamplitud.
Intenta responder antes de mirar.
¿Mayor confianza con igual muestra?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Intervalo más ancho.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se redondea n mínimo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Siempre al entero superior.
Intenta responder antes de mirar.
¿Interpretación frecuentista del 95 %?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cobertura del procedimiento en repeticiones, bajo sus supuestos.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Explica a otra persona por qué dos estudios con la misma estimación puntual pueden tener intervalos de anchuras muy diferentes.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.