Interpretar derivadas como tasas marginales y aproximar cambios pequeños con sus límites.
Míralo en un dibujo
La curva y=x² tiene en (1,1) una recta tangente y=2x−1. La derivada f′(1)=2 mide su pendiente.
Antes de seguir: ¿Qué expresa aquí f′(1)=2?
Comprueba tu razonamiento
Que cerca de x=1 la función cambia aproximadamente 2 unidades de y por cada unidad pequeña de x.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Derivadas; Función beneficio; Dominio contextual.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué mide una derivada?
Cambio local por unidad de variable.
En un minuto
- Cambio local por unidad de variable.
- El cambio de f para un incremento pequeño.
- f(x+Δx)−f(x).
- Unidades monetarias por unidad de q.
Entiende la idea
El concepto
La tasa de variación media divide el cambio de una función entre el cambio de su variable. La derivada es el límite de esa tasa cuando el incremento tiende a cero y describe una sensibilidad local. En un coste C(q), C′(q) tiene unidades de coste por unidad adicional de producción y se llama coste marginal dentro del modelo continuo.
La aproximación ΔC≈C′(q)Δq es útil para incrementos pequeños cuando la función es suficientemente regular. No suele ser una igualdad exacta para una unidad completa, salvo funciones lineales u otras circunstancias especiales. El coste de producir exactamente una unidad adicional es C(q+1)−C(q), una diferencia finita.
Cómo utilizarlo sin errores
Las reglas de derivación permiten obtener tasas de funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y racionales. La regla de la cadena añade la derivada de la función interior; la del cociente requiere elevar al cuadrado el denominador y respetar el orden de la resta. El dominio de la derivada puede ser más pequeño que el de la función.
Marginal, medio y total son conceptos diferentes. El coste medio C(q)/q reparte el coste total entre unidades, mientras el marginal describe un cambio local. Un coste marginal inferior al medio puede hacer que el medio disminuya en ese punto, lo que se comprueba derivando C(q)/q. La interpretación exige mantener unidades, punto de evaluación y tamaño del incremento explícitos, sin convertir una aproximación local en una ley exacta para cualquier cambio.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
C_medio=C(q)/q. C_marginal=C′(q). ΔC≈C′(q)Δq. d[C(q)/q]/dq=[qC′(q)−C(q)]/q².
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · C(q)=500+5q+0,01q². Calcula coste marginal en q=100, coste de la unidad 101 y coste medio en 100.
- C′(q)=5+0,02q, luego C′(100)=7 unidades monetarias por unidad.
- C(101)−C(100)=5+0,01(101²−100²)=5+2,01=7,01. La aproximación marginal era 7, no exactamente 7,01.
- C(100)=1100 y el coste medio es 11. Total, medio y marginal son magnitudes distintas.
Ejemplo 2 · Deriva f(t)=200(1−e^(−0,3t)) y calcula su tasa inicial.
- La derivada de e^(−0,3t) es −0,3e^(−0,3t).
- f′(t)=60e^(−0,3t), por lo que f′(0)=60 unidades de f por unidad de tiempo.
- La tasa disminuye con t, aunque f sigue creciendo. Una tasa decreciente no equivale a una función decreciente.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Deriva B(q)=−2q²+40q−50 y calcula B′(5).
Primera ayuda
Aplica la regla de potencia.
Ver solución razonada
B′=−4q+40; B′(5)=20. En ese punto el beneficio aumenta localmente unas 20 unidades por una pequeña unidad de q.
Práctica 2 · Deriva f(x)=ln(2x+1) e indica el dominio real.
Primera ayuda
Usa cadena y argumento positivo.
Ver solución razonada
Dominio x>−1/2. f′=2/(2x+1) en ese dominio.
Práctica 3 · Si C′(20)=8 y Δq=0,1, estima ΔC.
Primera ayuda
Usa la aproximación local.
Ver solución razonada
ΔC≈8·0,1=0,8 unidades monetarias. Es una estimación que debe contrastarse si se necesita exactitud.
El error que debes evitar
No presentar marginal como incremento exacto universal. No confundir tasa decreciente con valor decreciente. No olvidar la derivada interior del exponente.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Coste de exactamente una unidad adicional es…
Solución y explicación
Respuesta: C(q+1)−C(q). La derivada es una aproximación local a esa diferencia cuando procede.
Una función creciente con derivada decreciente…
Solución y explicación
Respuesta: Puede crecer cada vez más lentamente. El signo y la variación de la derivada son aspectos distintos.
Coste medio y marginal…
Solución y explicación
Respuesta: Tienen definiciones diferentes. Uno divide total por cantidad; el otro deriva el total.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué mide una derivada?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cambio local por unidad de variable.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué aproxima f′(x)Δx?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El cambio de f para un incremento pequeño.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se calcula un cambio exacto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
f(x+Δx)−f(x).
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué unidades tiene C′(q)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Unidades monetarias por unidad de q.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Usa la fórmula de la derivada del coste medio para explicar qué ocurre cuando el coste marginal está por debajo, igual o por encima del coste medio.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.