Resolver problemas de probabilidad total y Bayes con varios grupos y comunicar correctamente probabilidades posteriores.
Míralo en un dibujo
En el árbol, P(A)=0,4, P(E|A)=0,75 y P(E)=0,45. Por tanto P(A|E)=0,30/0,45=2/3. Condicionar en E restringe los caminos posibles.
Antes de seguir: ¿Es igual P(E|A) que P(A|E)?
Comprueba tu razonamiento
No. En este ejemplo son 3/4 y 2/3: se está condicionando en sucesos diferentes.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Frecuencias relativas; Probabilidad condicionada; Sucesos complementarios.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué pregunta responde Bayes?
De qué grupo procede un caso dado un resultado observado.
En un minuto
- De qué grupo procede un caso dado un resultado observado.
- Todos los caminos que producen la evidencia.
- Para hacer visibles denominadores y cambios de composición.
- No: depende del modelo, tasas y probabilidades previas.
Entiende la idea
El concepto
La probabilidad total descompone un suceso según grupos que forman una partición: no se solapan y cubren todos los casos. La probabilidad dentro de cada grupo debe ponderarse por el peso de ese grupo. Una media simple de tasas solo sería correcta si los grupos tuvieran el mismo peso.
Bayes calcula la probabilidad de un origen o grupo después de observar un resultado. Se divide la probabilidad conjunta del camino elegido entre la probabilidad total del resultado observado. El numerador no es solo la tasa dentro del grupo: también incluye cuántos casos proceden de él.
Cómo utilizarlo sin errores
Una explicación mediante frecuencias ficticias puede resultar más intuitiva que una fórmula. Si se imaginan 10000 elementos, se distribuyen según los pesos iniciales y se aplica cada tasa. Al seleccionar los que presentan el resultado, los pesos relativos cambian. Esa actualización no implica que la información previa fuera incorrecta; responde a una pregunta condicionada distinta.
Es importante distinguir calidad de un detector y valor de una señal. La probabilidad de señal entre elementos con una característica no es igual a la de característica entre elementos señalados. La frecuencia inicial y las señales falsas influyen. En esta lección los ejemplos son de procedencia y control de calidad con números inventados; no describen sistemas reales ni garantizan decisiones de diagnóstico.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
P(E)=ΣP(Hᵢ)P(E|Hᵢ). P(Hⱼ|E)=P(Hⱼ)P(E|Hⱼ)/P(E). El denominador suma todos los caminos que terminan en E.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Tres proveedores aportan 50 %,30 %,20 % y tienen tasas ficticias de defecto 1 %,2 %,5 %. Calcula defecto total y probabilidad de C dado defecto.
- P(D)=0,50·0,01+0,30·0,02+0,20·0,05=0,005+0,006+0,010=0,021.
- P(C|D)=0,010/0,021=10/21≈0,47619.
- El defecto total es 2,1 % y el origen C representa 47,62 % de las piezas defectuosas, no el 5 % inicial.
Ejemplo 2 · Un clasificador ficticio señala 90 % de defectuosas y 10 % de correctas. Si hay 20 % defectuosas, calcula la probabilidad de defecto tras señal.
- P(S)=0,20·0,90+0,80·0,10=0,18+0,08=0,26.
- P(D|S)=0,18/0,26=9/13≈0,69231.
- La señal eleva la probabilidad de defecto respecto al 20 % previo, pero no la convierte en 90 %.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · En los tres proveedores del ejemplo, calcula P(A|D).
Primera ayuda
Usa el camino A defectuoso y el total 0,021.
Ver solución razonada
P(A|D)=0,005/0,021=5/21≈0,23810.
Práctica 2 · Calcula P(B|D) y comprueba que los tres posteriores suman uno.
Primera ayuda
El camino B vale 0,006.
Ver solución razonada
P(B|D)=6/21=2/7. La suma 5/21+6/21+10/21=1 verifica la partición posterior.
Práctica 3 · Dos grupos pesan 0,8 y 0,2 y sus tasas de un resultado son 0,1 y 0,5. Calcula total y explica por qué no vale 0,3.
Primera ayuda
Pondera cada tasa.
Ver solución razonada
Total=0,8·0,1+0,2·0,5=0,18. La media simple 0,3 ignora tamaños distintos.
El error que debes evitar
No olvidar un proveedor en la probabilidad total. No confundir P(D|C) con P(C|D). No redondear cada camino antes de sumar si puede alterar el resultado.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
En Bayes, el numerador es…
Solución y explicación
Respuesta: Una probabilidad conjunta de un camino. Se multiplica peso del grupo por tasa condicionada.
Los posteriores de una partición dada la misma evidencia…
Solución y explicación
Respuesta: Suman uno. Siguen repartiendo todos los casos compatibles con la evidencia.
Promediar tasas sin pesos…
Solución y explicación
Respuesta: Puede ser incorrecto con grupos desiguales. La probabilidad total requiere ponderación.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué pregunta responde Bayes?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
De qué grupo procede un caso dado un resultado observado.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué debe incluir el denominador?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Todos los caminos que producen la evidencia.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué usar frecuencias ficticias?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Para hacer visibles denominadores y cambios de composición.
Intenta responder antes de mirar.
¿Señal positiva equivale a certeza?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: depende del modelo, tasas y probabilidades previas.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Representa los tres proveedores con 10000 piezas ficticias y calcula los números esperados de defectos por origen para reconstruir los posteriores.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.