Traducir desigualdades a una región factible y encontrar vértices mediante intersecciones verificadas.
Míralo en un dibujo
La región sombreada cumple x≥0, y≥0 y x+y≤4. Sus vértices son (0,0), (4,0) y (0,4). La frontera está incluida.
Antes de seguir: ¿Es admisible el punto (3,2)?
Comprueba tu razonamiento
No: 3+2=5 supera el límite 4, aunque ambas coordenadas sean positivas.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Inecuaciones; Sistemas lineales; Gráficas en el plano.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué representa una inecuación lineal en dos variables?
Un semiplano, con o sin frontera según la desigualdad.
En un minuto
- Un semiplano, con o sin frontera según la desigualdad.
- Probando un punto fuera de la recta frontera.
- No hay combinación que satisfaga todas las condiciones.
- Pueden ser fronteras de las restricciones de no negatividad.
Entiende la idea
El concepto
Una restricción lineal en dos variables representa un semiplano. Su frontera es la recta obtenida al cambiar la desigualdad por igualdad. Para decidir qué lado cumple, se prueba un punto que no esté en la frontera. El origen suele ser cómodo, salvo cuando pertenece a la recta. Las desigualdades no estrictas incluyen la frontera; las estrictas la excluyen.
La región factible es la intersección de todos los semiplanos y restricciones de dominio, como x≥0 e y≥0. No se suman las regiones: una solución debe cumplirlas simultáneamente. Puede ser vacía, acotada o no acotada, y puede reducirse a un segmento o un punto en casos especiales.
Cómo utilizarlo sin errores
Los vértices se obtienen intersectando pares de fronteras, pero no toda intersección es factible. Cada candidata debe sustituirse en todas las restricciones. En el primer cuadrante conviene incluir los ejes como posibles fronteras y revisar interceptos. Una tabla de candidatos y comprobaciones suele ser más fiable que estimar coordenadas de un dibujo.
En modelos de producción o planificación, las variables pueden representar cantidades continuas como horas o cantidades enteras como unidades indivisibles. La región continua sirve para el análisis lineal, pero las restricciones enteras pueden cambiar la solución final. Identificar la factibilidad precede a optimizar: una función objetivo no puede dar un máximo útil si se evalúa en puntos que violan recursos, capacidades o no negatividad.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
Región factible=intersección de todas las restricciones. Frontera de ax+by≤c: ax+by=c. Todo vértice candidato debe comprobarse en el sistema completo.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Encuentra los vértices de x≥0,y≥0,x+y≤6,2x+y≤8.
- En el eje x, las cotas son x≤6 y x≤4, por lo que el extremo factible es (4,0). En el eje y, y≤6 y y≤8: extremo (0,6).
- El corte x+y=6 y 2x+y=8 da x=2,y=4. El origen también es factible.
- Los vértices son (0,0),(4,0),(2,4),(0,6). El punto (6,0) se descarta porque 2·6>8.
Ejemplo 2 · Determina si x≥0,y≥0,x+y≤2,x+y≥5 tiene región factible.
- Las dos últimas restricciones exigen que la misma suma sea a la vez como máximo 2 y como mínimo 5.
- No existe ningún punto que lo cumpla.
- La región es vacía; no se debe continuar buscando un óptimo en intersecciones aisladas que incumplen otras condiciones.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Para x≥0,y≥0,x+y≤4, da los vértices.
Primera ayuda
Incluye los ejes.
Ver solución razonada
(0,0),(4,0),(0,4). La región es un triángulo cerrado.
Práctica 2 · ¿Cumple (3,3) todas las restricciones del primer ejemplo?
Primera ayuda
Comprueba una por una.
Ver solución razonada
Cumple no negatividad y x+y=6, pero 2x+y=9>8. No es factible.
Práctica 3 · Clasifica x≥0,y≥0,x+y≥3 como vacía, acotada o no acotada.
Primera ayuda
Busca puntos con coordenadas arbitrariamente grandes.
Ver solución razonada
Es no vacía y no acotada. Contiene, por ejemplo, (t,0) para todo t≥3.
El error que debes evitar
No aceptar todo cruce de rectas como factible. No olvidar restricciones de ejes. No confundir una región no acotada con una región vacía.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La región factible se obtiene…
Solución y explicación
Respuesta: Intersectándolos. Todas las restricciones deben cumplirse a la vez.
Una intersección de dos rectas frontera…
Solución y explicación
Respuesta: Debe comprobarse en las demás restricciones. Puede quedar fuera de la región común.
No negatividad suele expresarse como…
Solución y explicación
Respuesta: x≥0,y≥0. Representa cantidades que no pueden ser negativas.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué representa una inecuación lineal en dos variables?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Un semiplano, con o sin frontera según la desigualdad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo elegir el lado correcto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Probando un punto fuera de la recta frontera.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa región vacía?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No hay combinación que satisfaga todas las condiciones.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué incluir ejes al buscar vértices?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Pueden ser fronteras de las restricciones de no negatividad.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Elabora una tabla con todas las intersecciones de fronteras del primer ejemplo y marca cuáles se descartan, indicando la restricción que incumplen.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.