Distinguir un recuento binomial de una magnitud normal y calcular probabilidades sin confundir sus parámetros.
Míralo en un dibujo
Se dibuja la densidad normal estándar y se sombrea −1≤Z≤1. El área es aproximadamente 0,6827. La altura de la curva no es una probabilidad puntual.
Antes de seguir: ¿Cuál es P(Z=0) para una variable normal?
Comprueba tu razonamiento
Cero: un único punto no tiene área bajo una densidad continua.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Normal; Tipificación; Tamaño de muestra.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué cuenta una binomial?
Éxitos en n ensayos independientes con probabilidad constante.
En un minuto
- Éxitos en n ensayos independientes con probabilidad constante.
- 1−(1−p)ⁿ.
- Una probabilidad.
- N(μ,σ), con σ como desviación típica.
Entiende la idea
El concepto
Una variable binomial cuenta éxitos en un número fijo de ensayos independientes, cada uno con dos resultados y la misma probabilidad de éxito. «Éxito» es solo el nombre del resultado contado: puede ser una respuesta incorrecta. Antes de sustituir números conviene verificar las cuatro condiciones. Extraer sin reemplazo de una población pequeña, por ejemplo, suele cambiar las probabilidades y no produce una binomial exacta.
La fórmula binomial combina dos componentes: la probabilidad de una secuencia concreta y el número de secuencias que tienen exactamente k éxitos. «Al menos uno» se calcula cómodamente mediante el complementario de ninguno. La esperanza indica el promedio teórico a largo plazo y no tiene por qué ser un valor entero posible de la variable.
Cómo utilizarlo sin errores
La distribución normal describe una magnitud continua mediante una curva simétrica. En esta lección escribimos N(μ,σ), indicando expresamente que el segundo parámetro es la desviación típica, no la varianza. Algunos manuales usan otra convención; hay que leerla antes de calcular. La probabilidad corresponde al área, no a la altura de la curva, y un punto aislado tiene probabilidad cero.
Una distribución no se elige únicamente por el aspecto del enunciado. El recuento de aciertos puede ser binomial si se cumplen sus supuestos; una medida puede modelarse mediante una normal si existe una justificación. Estos modelos son herramientas de cálculo y deben contrastarse con el contexto, especialmente ante asimetrías intensas o valores extremos.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
X~B(n,p): P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ; μ=np; σ=√[np(1−p)]. X~N(μ,σ): Z=(X−μ)/σ.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · X~B(5;0,2). Calcula P(X=2) y P(X≥1).
- P(X=2)=10·0,2²·0,8³=0,2048. El factor 10 cuenta las posiciones posibles de los dos éxitos.
- P(X≥1)=1−P(X=0)=1−0,8⁵=0,67232.
- La esperanza es 1 y la desviación típica √0,8≈0,8944; no se redondea la variable para obtener probabilidades.
Ejemplo 2 · Una magnitud se modela por N(60,8), con σ=8. Calcula P(52≤X≤68), usando Φ(1)=0,84134.
- Los extremos tipificados son (52−60)/8=−1 y (68−60)/8=1.
- Por simetría Φ(−1)=1−0,84134=0,15866.
- El área es 0,84134−0,15866=0,68268. Incluir o excluir los extremos no cambia una probabilidad continua.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · X~B(4;0,5). Calcula P(X=2).
Primera ayuda
Cuenta las formas de elegir dos éxitos.
Ver solución razonada
C(4,2)·0,5⁴=6/16=0,375.
Práctica 2 · Una binomial tiene n=20 y p=0,1. Obtén media y desviación típica.
Primera ayuda
La varianza no es la desviación típica.
Ver solución razonada
μ=2; varianza=20·0,1·0,9=1,8; σ=√1,8≈1,3416.
Práctica 3 · X~N(60,8), σ=8. Calcula P(X≤72) con Φ(1,5)=0,93319.
Primera ayuda
Tipifica el límite.
Ver solución razonada
Z=(72−60)/8=1,5; la probabilidad pedida es 0,93319, no 1−0,93319.
El error que debes evitar
No confundir probabilidad puntual y acumulada. No usar σ² como divisor al tipificar. No imponer una binomial a extracciones dependientes sin comprobar la aproximación.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Para un modelo binomial exacto, p…
Solución y explicación
Respuesta: Debe ser constante. La probabilidad de éxito es la misma en los ensayos independientes.
En una normal, P(X=μ) vale…
Solución y explicación
Respuesta: 0. Un único punto no tiene área.
Si la varianza es 9, la desviación típica es…
Solución y explicación
Respuesta: 3. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué cuenta una binomial?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Éxitos en n ensayos independientes con probabilidad constante.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se calcula al menos un éxito?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
1−(1−p)ⁿ.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué representa el área bajo la normal?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una probabilidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué convención usa esta lección?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
N(μ,σ), con σ como desviación típica.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Propón un ejemplo que cumpla las condiciones binomiales y otro que falle únicamente por cambiar la probabilidad de éxito.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.