Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · 2.º Bachillerato · PAU · Derivadas
Resumen y formulario: Derivadas
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La idea que conecta el tema
Igualar ingreso marginal y coste marginal localiza candidatos, pero todavía hay que decidir si son máximos.
Qué debes ser capaz de hacer
- Interpretar derivadas como tasas marginales y aproximar cambios pequeños con sus límites.
- Estudiar crecimiento, extremos y curvatura de modelos y distinguir máximos locales de absolutos.
- Optimizar costes, ingresos y beneficios considerando dominio, fronteras y cantidades discretas.
Mapa de lecciones
Formulario esencial
Derivadas y tasa de variación: C_medio=C(q)/q. C_marginal=C′(q). ΔC≈C′(q)Δq. d[C(q)/q]/dq=[qC′(q)−C(q)]/q².
Crecimiento, extremos y curvatura: f′>0: crece; f′<0: decrece. Cambio +→−: máximo local; −→+: mínimo local. f″ con cambio de signo: candidato a inflexión que debe pertenecer a la gráfica.
Optimización de costes y beneficios: B=I−C. Candidato interior: B′=0 ⇔ I′=C′. Coste medio M=C/q; M′=(qC′−C)/q². Verificar máximo o mínimo y dominio.
Cómo decidir el procedimiento
- Expresa ingreso y coste en la misma variable.
- Deriva el beneficio o el coste medio correcto.
- Estudia signos y fronteras.
- Comprueba la solución en unidades y límites de producción.
Preguntas rápidas de recuperación
- Cambio local por unidad de variable.
- El cambio de f para un incremento pequeño.
- La función decrece en el intervalo correspondiente.
- La pendiente disminuye, bajo las hipótesis de derivabilidad.
- Una condición de candidato interior, no prueba completa de máximo.
- Críticos y fronteras.