Tres ideas para ver el tema con claridad
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Unidad 4
Igualar ingreso marginal y coste marginal localiza candidatos, pero todavía hay que decidir si son máximos.
Lecciones del tema
Resumen y esquema de decisión
Igualar ingreso marginal y coste marginal localiza candidatos, pero todavía hay que decidir si son máximos.
- Expresa ingreso y coste en la misma variable.
- Deriva el beneficio o el coste medio correcto.
- Estudia signos y fronteras.
- Comprueba la solución en unidades y límites de producción.
01 · Derivadas y tasa de variación
Interpretar derivadas como tasas marginales y aproximar cambios pequeños con sus límites.
- Cambio local por unidad de variable.
- El cambio de f para un incremento pequeño.
02 · Crecimiento, extremos y curvatura
Estudiar crecimiento, extremos y curvatura de modelos y distinguir máximos locales de absolutos.
- La función decrece en el intervalo correspondiente.
- La pendiente disminuye, bajo las hipótesis de derivabilidad.
03 · Optimización de costes y beneficios
Optimizar costes, ingresos y beneficios considerando dominio, fronteras y cantidades discretas.
- Una condición de candidato interior, no prueba completa de máximo.
- Críticos y fronteras.
Formulario del tema
Derivadas y tasa de variación
Crecimiento, extremos y curvatura
Optimización de costes y beneficios
Refuerzo 1 · Recuperación activa
Cierra los apuntes. Escribe una respuesta antes de revelar cada criterio; después compárala y corrige lo que falte.
¿Qué aproxima f′(x)Δx?
El cambio de f para un incremento pequeño.
¿Qué indica f″<0?
La pendiente disminuye, bajo las hipótesis de derivabilidad.
¿Qué comparar en un dominio cerrado?
Críticos y fronteras.
Refuerzo 2 · Detecta el error
Una resolución afirma: Para minimizar C(q)/q basta resolver C′(q)=0.
Localiza el fallo, explica por qué no es válido y corrígelo antes de abrir la respuesta.
Contrastar mi corrección
La derivada de un cociente es [qC′(q)−C(q)]/q². Minimizar el coste total no equivale a minimizar el coste por unidad.
Refuerzo 3 · Reto de transferencia
Si C(q)=100+q² y q>0, minimiza el coste medio.
Ver desarrollo y comprobación
M(q)=100/q+q. M′=−100/q²+1 se anula en q=10. Antes es negativa y después positiva; M(10)=20. La variable positiva elimina la raíz −10.
Refuerzo 4 · Minitest mixto
Nueve preguntas del banco de las tres lecciones, reunidas para practicar la elección del método. Se reutilizan preguntas, no se presentan como un banco nuevo.
Coste de exactamente una unidad adicional es…
Solución y explicación
Respuesta: C(q+1)−C(q). La derivada es una aproximación local a esa diferencia cuando procede.
Un cero de f′ es…
Solución y explicación
Respuesta: Un candidato que debe analizarse. El cambio de signo o una prueba válida decide.
Maximizar ingreso y beneficio…
Solución y explicación
Respuesta: Puede dar cantidades diferentes. El coste altera la función objetivo.
Una función creciente con derivada decreciente…
Solución y explicación
Respuesta: Puede crecer cada vez más lentamente. El signo y la variación de la derivada son aspectos distintos.
Para extremos absolutos en un intervalo cerrado…
Solución y explicación
Respuesta: Se revisan también las fronteras. Un extremo absoluto puede estar en un extremo del intervalo.
El coste medio se define como…
Solución y explicación
Respuesta: C(q)/q para q>0. No se confunde con coste marginal.
Coste medio y marginal…
Solución y explicación
Respuesta: Tienen definiciones diferentes. Uno divide total por cantidad; el otro deriva el total.
f″=0 basta para inflexión…
Solución y explicación
Respuesta: No. Hace falta un cambio de curvatura apropiado.
Un óptimo continuo no entero…
Solución y explicación
Respuesta: Requiere revisar candidatos enteros factibles. La integridad cambia el conjunto de decisiones.
Refuerzo 5 · Flashcards del tema
Las doce tarjetas se comparten con las lecciones: son las mismas tarjetas, no doce duplicados que haya que estudiar dos veces.
¿Qué mide una derivada?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Cambio local por unidad de variable.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué aproxima f′(x)Δx?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El cambio de f para un incremento pequeño.
Intenta responder antes de mirar.
¿Cómo se calcula un cambio exacto?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
f(x+Δx)−f(x).
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué unidades tiene C′(q)?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Unidades monetarias por unidad de q.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué indica f′<0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La función decrece en el intervalo correspondiente.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué indica f″<0?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La pendiente disminuye, bajo las hipótesis de derivabilidad.
Intenta responder antes de mirar.
¿Máximo local y absoluto coinciden siempre?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: uno compara cerca del punto y otro en todo el dominio.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué comparar para un extremo absoluto cerrado?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Valores en críticos, puntos no derivables pertinentes y extremos del intervalo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué significa I′=C′ en beneficio?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Una condición de candidato interior, no prueba completa de máximo.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué comparar en un dominio cerrado?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Críticos y fronteras.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué devolver además de q óptimo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El valor del objetivo y la interpretación pedida.
Intenta responder antes de mirar.
¿Por qué declarar datos hipotéticos?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Para separar el ejercicio matemático de decisiones comerciales reales.
Intenta responder antes de mirar.
Refuerzo 6 · Mezcla con un tema anterior
Cambia de procedimiento para comprobar si puedes elegirlo sin que el título del tema te lo indique.
Calcula el dominio de √(q−2)/(q−5) si además q≤8.
Comparar mi solución
q≥2, q≠5 y q≤8: dominio [2,5)∪(5,8].
En q(p)=100−2p, halla dónde E=1.
Comparar mi solución
2p=100−2p, p=25 y q=50. En este modelo la elasticidad unitaria coincide con el máximo del ingreso p(100−2p), pero esa conclusión se justifica por la función concreta.
Un plan de repaso adaptable
Hoy: haz el reto y registra el error. En 1 día: recupera las tarjetas difíciles. En 3 días: resuelve de nuevo sin mirar. En 7 días: mezcla este tema con otro. En 14 días: revisa lo que siga costando. Adelanta o retrasa sesiones según el examen y tu recuerdo real; estas fechas son una pauta, no una receta óptima universal.
Marca «lo recordaba» solo si pudiste responder antes de ver la solución. Estudiar no consiste en pasar tarjetas rápidamente.
Mi registro de errores
Se guarda solo en este navegador.
Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.
Recursos para dominar este tema
Cuando termines las lecciones, utiliza estos cuatro recursos según lo que necesites: repasar, practicar, comprobarte o corregir errores.