Diferenciar la variabilidad de individuos y la de medias muestrales y utilizar el error estándar.
Míralo en un dibujo
Se comparan esquemáticamente distribuciones normales con igual media y distinta dispersión. Si las observaciones son independientes, el error típico de la media es σ/√n.
Antes de seguir: ¿Cómo cambia el error típico si multiplicas n por 4?
Comprueba tu razonamiento
Se divide por 2, porque depende de 1/√n, no de 1/n.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Normal; Tipificación; Tamaño de muestra.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué varía en una distribución muestral?
El estadístico entre muestras repetidas.
En un minuto
- El estadístico entre muestras repetidas.
- μ, bajo los supuestos indicados.
- No: el error estándar de la media es σ/√n.
- No necesariamente.
Entiende la idea
El concepto
La media muestral cambia de una muestra a otra. Su distribución no es la misma que la de los individuos: al promediar observaciones independientes se reduce la variabilidad. Si los individuos tienen media μ y desviación σ, la media de n observaciones independientes con la misma distribución tiene media μ y desviación σ/√n. Esta última se llama error estándar de la media.
Si la población es normal, la media muestral es exactamente normal para cualquier n bajo esos supuestos. Si la población no es normal, el teorema central del límite puede justificar una aproximación cuando el tamaño resulta suficiente y se cumplen sus condiciones. No existe un tamaño mágico válido para todas las poblaciones: asimetría, colas y dependencia pueden cambiar la calidad de la aproximación.
Cómo utilizarlo sin errores
Reducir el error estándar exige aumentar la muestra de forma cuadrática. Multiplicar n por cuatro divide el error estándar entre dos. Sin embargo, una muestra enorme pero sesgada no corrige automáticamente el sesgo. Tampoco debe usarse la fórmula de observaciones independientes cuando los datos están muy relacionados, como respuestas repetidas de una misma persona sin tener en cuenta ese diseño.
En muestreo aleatorio simple sin reemplazo de una población finita, y si la fracción muestreada no es despreciable, aparece una corrección por población finita. Con σ definido sobre los N individuos, el factor es √[(N−n)/(N−1)]. Esta ampliación no se aplica a cualquier encuesta: primero hay que identificar el diseño. Los ejercicios siguientes utilizan el modelo independiente o una población efectivamente muy grande.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
E(X̄)=μ. Error estándar=σ/√n. Si procede: Z=(X̄−μ)/(σ/√n).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Población normal con μ=100 y σ=15. Para n=25, calcula P(97≤X̄≤103) con Φ(1)=0,84134.
- La distribución de X̄ es normal con media 100 y error estándar 15/√25=3.
- Los límites 97 y 103 se tipifican como −1 y 1.
- La probabilidad es 2·0,84134−1=0,68268. Dividir entre 15 daría una probabilidad de individuos, no de medias.
Ejemplo 2 · Una población tiene σ=20. Compara el error estándar para n=25 y n=100.
- Para n=25, el error estándar es 20/5=4.
- Para n=100, es 20/10=2.
- La muestra se multiplicó por cuatro y la dispersión de las medias se redujo a la mitad; la dispersión individual sigue siendo 20.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · μ=50, σ=12 y n=36. Obtén media y desviación de X̄.
Primera ayuda
El promedio no cambia el centro poblacional.
Ver solución razonada
E(X̄)=50 y desviación 12/√36=2. La forma será exactamente normal si la población lo es; de otro modo hay que justificar la aproximación.
Práctica 2 · Se quiere pasar de error estándar 3 a 1 con el mismo σ. ¿Qué ocurre con n?
Primera ayuda
El error estándar varía como 1/√n.
Ver solución razonada
Hay que multiplicar n por 9, no por 3.
Práctica 3 · En una población normal μ=100, σ=15, calcula P(97≤X≤103) para una persona. Usa Φ(0,2)=0,57926.
Primera ayuda
Ahora X no es una media de 25 observaciones.
Ver solución razonada
z=±3/15=±0,2. El área es 2·0,57926−1=0,15852, menor que la probabilidad correspondiente a la media de 25 individuos.
El error que debes evitar
No tipificar una media con σ individual. No aplicar automáticamente la corrección finita a cualquier diseño. No presentar n=30 como una garantía universal.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
La desviación típica de X̄ para observaciones independientes es…
Solución y explicación
Respuesta: σ/√n. La varianza es σ²/n y la desviación es su raíz.
Cuadruplicar n hace que el error estándar…
Solución y explicación
Respuesta: Se reduzca a la mitad. √(4n)=2√n.
Con n=30, cualquier distribución de medias es exactamente normal…
Solución y explicación
Respuesta: No. La exactitud procede de la normalidad poblacional, no de un umbral universal.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué varía en una distribución muestral?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
El estadístico entre muestras repetidas.
Intenta responder antes de mirar.
¿Centro de X̄?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
μ, bajo los supuestos indicados.
Intenta responder antes de mirar.
¿Error estándar y desviación individual son iguales?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No: el error estándar de la media es σ/√n.
Intenta responder antes de mirar.
¿Más muestra elimina un sesgo de selección?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
No necesariamente.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Explica por qué una encuesta voluntaria con miles de respuestas puede ser menos informativa sobre una población que una muestra aleatoria más pequeña.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.