Obtener primitivas y recuperar funciones de coste o acumulación a partir de sus tasas de cambio.
Míralo en un dibujo
Las funciones F(x)=x² y G(x)=x²+2 tienen la misma derivada 2x. Las constantes desplazan la gráfica, pero no cambian su pendiente.
Antes de seguir: ¿Por qué aparece +C en una integral indefinida?
Comprueba tu razonamiento
Porque derivar cualquier constante da cero, de modo que hay toda una familia de primitivas.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Primitivas; Unidades de tasas; Funciones a trozos.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué representa la constante en un coste total?
Puede representar el coste fijo al fijar C(0).
En un minuto
- Puede representar el coste fijo al fijar C(0).
- ln|x|+C en intervalos sin cero.
- Derivada de una función dividida por la propia función.
- Usar la condición inicial y verificar por derivación.
Entiende la idea
El concepto
Una primitiva F de una función f cumple F′=f en un intervalo. La integral indefinida reúne todas las primitivas mediante F+C. En modelos de acumulación, conocer una tasa de cambio no determina el nivel inicial: hace falta una condición adicional para fijar la constante. Dos actividades pueden tener el mismo coste marginal y costes totales distintos por sus costes fijos.
Las reglas de integración invierten derivadas conocidas. Para una potencia xⁿ con n≠−1, se aumenta el exponente y se divide por el nuevo. El caso 1/x conduce a ln|x|. Exponenciales con un factor constante en el exponente requieren dividir por ese factor, y las composiciones pueden reconocerse si aparece la derivada de la expresión interior.
Cómo utilizarlo sin errores
La linealidad permite integrar sumas y sacar factores constantes. No permite separar arbitrariamente productos o cocientes en integrales independientes. Cuando una expresión tiene la forma g′/g, su primitiva es ln|g| en intervalos adecuados. La comprobación más directa consiste en derivar el resultado y verificar que se recupera el integrando.
La constante se determina sustituyendo una condición como C(0)=coste fijo o N(0)=cantidad inicial. Debe conservarse el dominio: una fórmula de primitiva no elimina restricciones del logaritmo o del modelo. Los datos de costes y tasas de esta lección son ficticios; sirven para entender cómo una variación local se conecta con una cantidad total.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C, n≠−1. ∫eᵏˣdx=eᵏˣ/k+C, k≠0. ∫g′/g=ln|g|+C. Una condición inicial fija C.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Un coste marginal es C′(q)=6+0,04q y el coste fijo C(0)=100. Obtén C(q) y C(100).
- Integramos: C(q)=6q+0,02q²+K.
- La condición C(0)=100 da K=100.
- C(100)=600+200+100=900. Integrar sin fijar la constante no habría determinado el coste total.
Ejemplo 2 · Calcula ∫(2t+1)/(t²+t+4) dt y comprueba el dominio.
- El numerador es la derivada del denominador. La primitiva es ln|t²+t+4|+C.
- Como t²+t+4=(t+1/2)²+15/4>0, se escribe ln(t²+t+4)+C para todo t real.
- Al derivar se obtiene exactamente (2t+1)/(t²+t+4).
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Calcula ∫(4x³−3x²+2)dx.
Primera ayuda
Integra cada término.
Ver solución razonada
x⁴−x³+2x+C.
Práctica 2 · Una cantidad satisface N′(t)=20e^(−0,5t) y N(0)=10. Halla N(t).
Primera ayuda
La primitiva exponencial incluye división por −0,5.
Ver solución razonada
N(t)=−40e^(−0,5t)+K. Al imponer N(0)=10, K=50. N(t)=50−40e^(−0,5t).
Práctica 3 · Calcula ∫3/(3x+2)dx e indica el punto excluido.
Primera ayuda
Reconoce derivada interior.
Ver solución razonada
ln|3x+2|+C, por intervalos que no crucen x=−2/3. La primitiva no hace que el integrando exista en ese punto.
El error que debes evitar
No omitir la constante al recuperar una función total. No multiplicar integrales para integrar un producto. No olvidar el factor del exponente.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Conocer C′ determina C de forma única sin más datos…
Solución y explicación
Respuesta: No: falta una constante. Una condición inicial como el coste fijo fija el nivel.
Para comprobar una primitiva se…
Solución y explicación
Respuesta: Deriva. La derivada debe devolver el integrando.
La integral de un producto es el producto de integrales…
Solución y explicación
Respuesta: No en general. La linealidad se aplica a sumas y factores constantes, no a productos arbitrarios.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué representa la constante en un coste total?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Puede representar el coste fijo al fijar C(0).
Intenta responder antes de mirar.
¿Primitiva de 1/x?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
ln|x|+C en intervalos sin cero.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué estructura produce un logaritmo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Derivada de una función dividida por la propia función.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué hacer después de integrar una tasa?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Usar la condición inicial y verificar por derivación.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Construye dos costes totales con el mismo marginal del primer ejemplo y costes fijos diferentes; explica qué cambios y qué diferencias permanecen constantes.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.