Construir modelos de ingresos, costes, beneficio y elasticidad con unidades y dominios coherentes.
Míralo en un dibujo
Coste C(x)=2x+4 e ingreso I(x)=4x. Se igualan en x=2 y valen 8. Para x>2, en este modelo, el ingreso supera al coste.
Antes de seguir: ¿El punto de equilibrio significa beneficio máximo?
Comprueba tu razonamiento
No. Significa beneficio cero: ingreso y coste son iguales. El máximo necesita un estudio distinto y un dominio.
Antes de empezar
Necesitas manejar: Funciones; Límites; Costes e ingresos.
Escribe en papel tu respuesta a esta pregunta antes de desplegarla.
¿Qué distingue precio e ingreso?
Precio por unidad frente a total obtenido.
En un minuto
- Precio por unidad frente a total obtenido.
- La parte del coste del modelo que no depende de q.
- Sensibilidad porcentual local.
- Que pertenezca al dominio y cumpla las restricciones de cantidades.
Entiende la idea
El concepto
El ingreso total se obtiene multiplicando cantidad vendida por precio unitario cuando todas las unidades se venden a ese precio. Si el precio depende de la cantidad, I(q)=q·p(q) no es una función lineal en general. El coste total C(q) puede contener parte fija y variable, y el beneficio del modelo es B(q)=I(q)−C(q).
El punto de equilibrio económico en estos ejercicios es una cantidad para la que ingreso y coste coinciden. Puede haber varios puntos, uno o ninguno dentro del dominio. Beneficio positivo o negativo se estudia por signos, no solo calculando raíces. Una cantidad que da precio negativo debe excluirse si la interpretación del modelo no lo admite.
Cómo utilizarlo sin errores
La elasticidad-precio de una demanda q(p) mide sensibilidad relativa. Con demanda decreciente, se suele usar la magnitud E=−pq′(p)/q(p), donde p y q son positivos. Un valor menor que uno indica una respuesta porcentual de cantidad de menor magnitud que el cambio porcentual pequeño de precio, bajo la aproximación local. No se confunde con la pendiente, que depende de unidades.
Estos modelos omiten muchas circunstancias reales: impuestos, capacidad, competencia, incertidumbre o costes no incluidos. Su objetivo aquí es aprender a traducir relaciones y razonar matemáticamente, no recomendar precios ni decisiones financieras. La respuesta debe indicar la fórmula, el dominio, el significado de cada resultado y los supuestos de venta y coste utilizados.
Fórmulas y condiciones de uso
Lee las condiciones junto con cada expresión. Una fórmula sin sus hipótesis puede dar un resultado incorrecto.
Consultar la notación textual original
I(q)=q·p(q). B(q)=I(q)−C(q). Equilibrio: B(q)=0. Elasticidad de demanda decreciente: E(p)=−p q′(p)/q(p).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Sea p(q)=30−q y C(q)=20+10q, con q≥0 y precio no negativo. Obtén ingreso, beneficio y cantidades de equilibrio.
- El dominio contextual es 0≤q≤30. I(q)=30q−q².
- B(q)=20q−q²−20. Sus ceros satisfacen q²−20q+20=0, luego q=10±4√5, aproximadamente 1,06 y 18,94.
- El beneficio es positivo entre las dos raíces dentro del dominio. Son cantidades continuas del modelo; si se exigieran unidades enteras, habría que revisar esa restricción.
Ejemplo 2 · Una demanda ficticia q(p)=100−2p se estudia para 0<p<50. Calcula elasticidad en p=20.
- q′(p)=−2 y q(20)=60.
- E(20)=−20·(−2)/60=2/3.
- Localmente, un aumento pequeño del 1 % en precio se asocia aproximadamente con una disminución del 0,67 % en cantidad, bajo el modelo. No es una predicción exacta para cambios grandes.
Practica antes de mirar la solución
Práctica 1 · Si C(q)=50+4q e I(q)=9q, calcula el umbral de beneficio cero.
Primera ayuda
Iguala ingreso y coste.
Ver solución razonada
9q=50+4q, luego q=10. B=5q−50 es positivo para q>10 dentro del dominio admisible.
Práctica 2 · Para p(q)=60−2q, calcula I(10) y el dominio de cantidades con precio no negativo.
Primera ayuda
No confundas precio e ingreso.
Ver solución razonada
p(10)=40 e I(10)=10·40=400. El dominio es 0≤q≤30.
Práctica 3 · En q(p)=100−2p, halla dónde E=1.
Primera ayuda
Resuelve 2p/(100−2p)=1.
Ver solución razonada
2p=100−2p, p=25 y q=50. En este modelo la elasticidad unitaria coincide con el máximo del ingreso p(100−2p), pero esa conclusión se justifica por la función concreta.
El error que debes evitar
No usar la pendiente como porcentaje sin normalizar. No confundir beneficio con ingreso. No presentar modelos hipotéticos como asesoramiento comercial.
Comprueba lo aprendido
Autoevaluación formativa: no es una nota oficial ni un examen vigilado.
Ingreso total con precio variable es…
Solución y explicación
Respuesta: q·p(q). Se multiplica el precio unitario por unidades vendidas bajo el supuesto indicado.
Pendiente y elasticidad…
Solución y explicación
Respuesta: Miden cambios absolutos y relativos, respectivamente. La elasticidad normaliza por p y q.
Beneficio cero significa…
Solución y explicación
Respuesta: Ingreso igual a coste en el modelo. Puede haber ventas e ingresos positivos que cubran exactamente costes.
Recupera las ideas de memoria
Antes de revelar cada respuesta, di la tuya en voz alta o escríbela. Marca si la recordabas para programar el siguiente repaso.
¿Qué distingue precio e ingreso?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Precio por unidad frente a total obtenido.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué es coste fijo?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
La parte del coste del modelo que no depende de q.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué mide elasticidad?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Sensibilidad porcentual local.
Intenta responder antes de mirar.
¿Qué revisar en una raíz económica?
Ya lo he intentado: revelar respuesta
Que pertenezca al dominio y cumpla las restricciones de cantidades.
Intenta responder antes de mirar.
Explícalo y llévalo a otro problema
Compara el cambio exacto de demanda entre p=20 y p=20,2 con la aproximación porcentual del ejemplo, identificando por qué se habla de cambios pequeños.
Cierre en papel: explica el procedimiento, anota una condición de validez y vuelve a resolver un ejercicio que te haya costado sin consultar sus pasos.
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Fuentes y revisión editorial
Material de elaboración propia con asistencia de IA. Revisión docente final pendiente. La comprobación técnica no certifica la adaptación a una convocatoria concreta de PAU.